7. 一个平行四边形的一条边的长为$\sqrt{5}$，两条对角线长分别为$4$和$2$，这个平行四边形是(
B
)
A.矩形
B.菱形
C.一般平行四边形
D.有一个内角是$60^{\circ}$的平行四边形
答案：7．B
解析：
在平行四边形中，两条对角线互相平分，所以两条对角线的一半分别为$2$和$1$。
已知平行四边形的一条边长为$\sqrt{5}$，判断两条对角线的一半与这条边能否构成三角形：
$2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，$(\sqrt{5})^2 = 5$，即$2^2 + 1^2 = (\sqrt{5})^2$。
根据勾股定理的逆定理，两条对角线的一半与这条边构成直角三角形，所以两条对角线互相垂直。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
B
8. 如图，在$□ ABCD$中，$BC$的垂直平分线$EO$交$AD$于点$E$，交$BC$于点$O$，连接$BE$，$CE$，过点$C$作$CF// BE$，交$EO$的延长线于点$F$，连接$BF$.若$AD = 8$，$CE = 5$，则四边形$BFCE$的面积为
24
.
答案：8．24 解析：由平行四边形的性质，得 BC = AD = 8.
∵ EF垂直平分BC，
∴ EF ⊥ BC，OC = OB = $\frac{1}{2}$BC = 4，
∴ 在Rt△EOC中，由勾股定理，得 OE = 3.证△OCF ≌ △OBE，得 OE = OF = 3，由此可说明四边形 BFCE 为菱形，
∴ $S_{四边形BFCE}$ = $\frac{1}{2}$BC · EF = 24.
9. 四边形的四条边长分别为$a$，$b$，$c$，$d$，且满足条件$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=ab + bc + cd + da$，则此四边形一定是
菱形
.
答案：9．菱形
10. (2025·扬州改编)如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，对角线$BD$的垂直平分线分别交$AD$，$BC$，$BD$于点$M$，$N$，$O$，连接$BM$，$DN$.
（1）求证：四边形$BNDM$是菱形；
（2）若$BD = 24$，$MN = 10$，求菱形$BNDM$的周长.
答案：10．（1）
∵ AD // BC，
∴ ∠DMO = ∠BNO.
∵ MN是对角线BD的垂直平分线，
∴ OD = OB，MN ⊥ BD.在△MOD和△NOB中，$\begin{cases} ∠DMO = ∠BNO, \\ ∠MOD = ∠NOB, \\ OD = OB, \end{cases}$
∴ △MOD ≌ △NOB (AAS)，
∴ OM = ON.
∵ OD = OB，
∴ 四边形BNDM是平行四边形.
∵ MN ⊥ BD，
∴ 四边形BNDM是菱形 （2）
∵ 四边形BNDM是菱形，BD = 24，MN = 10，
∴ BM = BN = DM = DN，OB = $\frac{1}{2}$BD = 12，OM = $\frac{1}{2}$MN = 5.
∵ MN ⊥ BD，
∴ ∠BOM = 90°.在Rt△BOM中，由勾股定理，得 BM = $\sqrt{OM^{2} + OB^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ = 13.
∴ 菱形BNDM的周长 = 4BM = 4×13 = 52
11. (新情境·现实生活)将两张长为$8$、宽为$4$的矩形纸片按如图所示的方式叠放.
（1）判断四边形$AGCH$的形状，并说明理由；
（2）求四边形$AGCH$的面积.
答案：11．（1）四边形AGCH是菱形 理由：
∵ 四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴ ∠B = ∠F = 90°，AD // BC，AF // CE，
∴ 四边形AGCH是平行四边形.
∵ $S_{□ AGCH}$ = GC · AB = AG · CF，AB = CF = 4，
∴ GC = AG，
∴ 四边形AGCH是菱形. （2）由（1）可知，GC = AG.设 GC = AG = x，则 BG = 8 - x.
∵ 在矩形ABCD中，∠B = 90°，AB = 4，
∴ 在Rt△ABG中，由勾股定理，得$4^{2} + (8 - x)^{2} = x^{2}$，解得x = 5，
∴ GC = 5，
∴ $S_{菱形AGCH}$ = GC · AB = 5×4 = 20
