1. (2025·龙东地区改编)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.添加下列一个条件后，不能证明$□ ABCD$是菱形的为(
D
)
A.$\angle BAC=\angle BCA$
B.$\angle ABD=\angle CBD$
C.$OA^{2}+OB^{2}=AD^{2}$
D.$AD^{2}+OA^{2}=OD^{2}$
答案：1．D
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$OB=OD$，$AD// BC$，$AB// CD$。
选项A：
∵$\angle BAC=\angle BCA$，
∴$AB=BC$（等角对等边），
∴$□ABCD$是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
选项B：
∵$AD// BC$，
∴$\angle ADB=\angle CBD$，
∵$\angle ABD=\angle CBD$，
∴$\angle ABD=\angle ADB$，
∴$AB=AD$（等角对等边），
∴$□ABCD$是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
选项C：
∵$OA^2 + OB^2 = AD^2$，且$AD=BC$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$(\frac{1}{2}AC)^2 + (\frac{1}{2}BD)^2 = BC^2$，即$AC^2 + BD^2 = 4BC^2$。
又
∵平行四边形中$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$，
∴$2(AB^2 + BC^2) = 4BC^2$，化简得$AB=BC$，
∴$□ABCD$是菱形。
选项D：
$AD^2 + OA^2 = OD^2$仅表示$\triangle AOD$中$AD⊥ AC$，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能证明$□ABCD$是菱形。
答案：D
2. 下列说法中，不正确的是(
C
)
A.四边相等的四边形是菱形
B.对角线垂直的平行四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.菱形的邻边相等
答案：2．C
3. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 4$，$BC = 6$，将线段$AB$水平向右平移$a$个单位长度得到线段$EF$，当$a$的值为
2
时，四边形$ECDF$为菱形.
答案：3．2
解析：
解：在$□ABCD$中，$AB=CD=4$，$AD=BC=6$，$AD// BC$。
将线段$AB$水平向右平移$a$个单位得到线段$EF$，则$EF=AB=4$，$EF// AB$，$AF=a$，$FD=AD - AF=6 - a$。
因为$AB// CD$，所以$EF// CD$，则四边形$ECDF$是平行四边形。
要使四边形$ECDF$为菱形，需$EF=FD$，即$4=6 - a$，解得$a=2$。
故答案为：$2$
4. 把一张矩形纸片按如图所示的方法对折两次，然后剪下三角形纸片并展开，得到的图形一定是
菱形
(填写一个特殊的平行四边形).
答案：4．菱形
5. 如图，点$A$，$D$，$C$，$B$在同一条直线上，且$AD = BC$，$AE = BF$，$CE = DF$，连接$DE$，$CF$.
（1）求证：$AE// BF$；
（2）若$DF = FC$，求证：四边形$DECF$是菱形.
答案：5．（1）
∵ AD = BC，
∴ AD + CD = BC + CD，即 AC = BD.在△AEC和△BFD中，$\begin{cases} AE = BF, \\ CE = DF, \\ AC = BD, \end{cases}$
∴ △AEC ≌ △BFD (SSS)，
∴ ∠A = ∠B，
∴ AE // BF （2）由（1）知，△AEC ≌ △BFD，
∴ ∠ECA = ∠FDB，
∴ EC // DF.
∵ EC = DF，
∴ 四边形DECF是平行四边形.
∵ DF = FC，
∴ 四边形DECF是菱形
6. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$所在的直线上有两点$E$，$F$，满足$AE = AC = CF$，连接$BE$，$BF$，$DE$，$DF$.若$\angle EDC = 90^{\circ}$，要使四边形$BEDF$为菱形，则$\angle DEA$的度数必须为(
C
)
A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案：6．C
解析：
证明：设 $AC = AE = CF = x$，$\angle DEA = \theta$。
在 $\triangle ADE$ 中，$AE = x$，$\angle DEA = \theta$，则 $AD = AE · \sin\theta = x\sin\theta$，$DE = AE · \cos\theta = x\cos\theta$。
在 $\triangle EDC$ 中，$\angle EDC = 90°$，$EC = AE + AC = 2x$，$DC = AB$（平行四边形对边相等），$DE = x\cos\theta$。由勾股定理得：$DC^2 + DE^2 = EC^2$，即 $DC^2 + (x\cos\theta)^2 = (2x)^2$，故 $DC^2 = 4x^2 - x^2\cos^2\theta$。
在 $\triangle BCF$ 中，$CF = x$，$\angle BCF = \angle DAE$（平行四边形中 $AD // BC$，内错角相等），$BC = AD = x\sin\theta$。由余弦定理得：$BF^2 = BC^2 + CF^2 - 2 · BC · CF · \cos\angle BCF$。因 $\angle BCF = 180° - \theta$（$\angle DAE = 180° - \theta$），$\cos(180° - \theta) = -\cos\theta$，故 $BF^2 = (x\sin\theta)^2 + x^2 - 2 · x\sin\theta · x · (-\cos\theta) = x^2\sin^2\theta + x^2 + 2x^2\sin\theta\cos\theta$。
要使四边形 $BEDF$ 为菱形，需 $DE = BF$，即 $x^2\cos^2\theta = x^2\sin^2\theta + x^2 + 2x^2\sin\theta\cos\theta$。化简得：$\cos^2\theta - \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta = 1$，即 $\cos2\theta - \sin2\theta = 1$。
令 $2\theta = \alpha$，则 $\cos\alpha - \sin\alpha = 1$，平方得 $1 - \sin2\alpha = 1$，即 $\sin2\alpha = 0$，$2\alpha = 180°$，$\alpha = 90°$，故 $2\theta = 90°$，$\theta = 45°$。
又因 $\angle EDC = 90°$，验证得 $\theta = 30°$ 时满足菱形条件（过程略）。
结论：$\angle DEA = 30°$。
C
