7. (教材变式)如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AC = 4$，$BD = 16$，将 $\triangle ABO$ 沿 $AC$ 方向平移，得到 $\triangle A'B'O'$。当点 $A'$ 与点 $C$ 重合时，点 $A$ 与点 $B'$ 之间的距离为(
C
)
A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$
答案：7.C
8. 如图，若菱形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$B$ 的坐标分别为 $(3,0)$，$( - 2,0)$，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，则点 $C$ 的坐标是
(-5,4)
。
答案：8.(-5,4)
解析：
解：
∵菱形$ABCD$的顶点$A(3,0)$，$B(-2,0)$，
∴$AB=3 - (-2)=5$，$AO=3$，$BO=2$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AD=AB=5$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OD=\sqrt{AD^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴点$D(0,4)$。
∵$B(-2,0)$，$D(0,4)$，
∴点$B$到点$D$的平移规律是：向右平移$2$个单位，向上平移$4$个单位。
∵$A(3,0)$，
∴点$C$的坐标是$(3 - 2,0 + 4)=(-5,4)$。
故点$C$的坐标是$(-5,4)$。
9. (2025·凉山)如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是边 $CD$ 的中点，过点 $E$ 作 $EF⊥ BD$ 于点 $F$，$EG⊥ AC$ 于点 $G$。若 $AC = 12$，$BD = 16$，则 $FG$ 的长为
5
。
答案：9.5
解析：
解：
∵菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC=12$，$BD=16$，
∴ $AC ⊥ BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=8$。
∵ $E$ 是 $CD$ 中点，$EF ⊥ BD$，$EG ⊥ AC$，
∴ $EF // AC$，$EG // BD$，
∴ 四边形 $OGEF$ 是矩形，$F$ 为 $OD$ 中点，$G$ 为 $OC$ 中点。
∴ $OF=\frac{1}{2}OD=4$，$OG=\frac{1}{2}OC=3$。
在 $Rt\triangle OGF$ 中，$FG=\sqrt{OG^2+OF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
答案：$5$
10. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$\angle CAB=\angle ACB$，过点 $B$ 作 $BE⊥ AB$，交 $AC$ 于点 $E$。
（1）求证：$AC⊥ BD$；
（2）若 $AB = 10$，$AC = 16$，求 $OE$ 的长。
答案：10.(1)
∵∠CAB=∠ACB，
∴AB=CB.
∵四边形ABCD是
平行四边形，
∴□ABCD是菱形，
∴AC⊥BD (2)设OE=x.
∵□ABCD是菱形，AC=16，
∴$OA=\frac{1}{2}AC=8.$
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOE=90°，
∴在Rt△AOB中，OB=
$\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} =6，$
∴在Rt△EOB中，$BE^{2}=$
$OE^{2}+OB^{2}=x^{2}+6^{2}.$
∵BE⊥AB，
∴∠EBA=90°，
∴在
Rt△ABE中，$BE^{2}=AE^{2}-AB^{2}=(8+x)^{2}-10^{2}，$
∴$x^{2}+6^{2}=$
$(8+x)^{2}-10^{2}，$解得$x=\frac{9}{2}，$
∴OE的长为$\frac{9}{2}$
11. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $D$ 作对角线 $BD$ 的垂线，交 $BA$ 的延长线于点 $E$。
（1）求证：四边形 $ACDE$ 是平行四边形；
（2）若 $AC = 16$，$BD = 12$，求 $\triangle ADE$ 的周长。
答案：11.(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴AE//CD.又
∵DE⊥BD，
∴DE//AC，
∴四边形ACDE是
平行四边形 (2)
∵四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，
∴$AC⊥BD,AD=CD,AO=\frac{1}{2}AC=8,DO=\frac{1}{2}BD=6,$
∴在
Rt△AOD中，$AD=\sqrt{AO^{2}+DO^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} =10，$
∴CD=
10.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=10,DE=
AC=16，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=36
