7. 矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $F$ 在矩形 $ABCD$ 的边上，连接 $OF$. 若 $\angle ADB = 38^{\circ}$，$\angle BOF = 30^{\circ}$，则 $\angle AOF$ 的度数为
46°或106°
.
答案：7.46°或106°
解析：
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$\angle BAD=90^{\circ}$，
$\therefore OA=OB=OD$，
$\because \angle ADB = 38^{\circ}$，
$\therefore \angle OAD=\angle ADB=38^{\circ}$，
$\angle AOD=180^{\circ}-38^{\circ}-38^{\circ}=104^{\circ}$，
$\angle AOB=180^{\circ}-104^{\circ}=76^{\circ}$，
情况一：点$F$在$AD$边上
$\because \angle BOF = 30^{\circ}$，
$\angle AOF=\angle AOB-\angle BOF=76^{\circ}-30^{\circ}=46^{\circ}$；
情况二：点$F$在$AB$边上
$\because \angle BOF = 30^{\circ}$，
$\angle AOF=\angle AOB+\angle BOF=76^{\circ}+30^{\circ}=106^{\circ}$。
$46^{\circ}$或$106^{\circ}$
8. (方程思想)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 10$，以点 $B$ 为圆心，$BC$ 的长为半径画弧，交 $AD$ 于点 $E$，连接 $BE$，再分别以点 $C$，$E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}CE$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $F$，作射线 $BF$ 交 $CD$ 于点 $G$，则 $CG$ 的长为
$\frac{10}{3}$
.
答案：8.$\frac{10}{3}$ 解析:连接EG.设CG=x.根据作图过程可知，BC=BE=10,BF是∠EBC的平分线，证△EBG≌△CBG，得EG=CG=x.先在Rt△BAE中，利用勾股定理求得AE=8，从而可得DE=2，再在Rt△EDG中，利用勾股定理，构造方程$2^{2}+(6-x)^{2}=x^{2}$，由此可求出CG的长.
解析：
解：连接EG，设$CG = x$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB = CD = 6$，$AD = BC = 10$，$\angle A = \angle D = 90°$。
由作图知，$BE = BC = 10$，$BF$平分$\angle EBC$，
∴$\angle EBG = \angle CBG$。
在$\triangle EBG$和$\triangle CBG$中，
$\begin{cases} BE = BC \\ \angle EBG = \angle CBG \\ BG = BG \end{cases}$，
∴$\triangle EBG \cong \triangle CBG(SAS)$，
∴$EG = CG = x$。
在$Rt\triangle BAE$中，$AE = \sqrt{BE^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$，
∴$DE = AD - AE = 10 - 8 = 2$，$DG = CD - CG = 6 - x$。
在$Rt\triangle EDG$中，$DE^2 + DG^2 = EG^2$，
即$2^2 + (6 - x)^2 = x^2$，
解得$x = \frac{10}{3}$。
故$CG$的长为$\frac{10}{3}$。
9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$BD$ 是对角线，$AE⊥ BD$ 于点 $E$，$CF⊥ BD$ 于点 $F$.
(1) 求证：$AE = CF$；
(2) 当 $\angle ADB = 30^{\circ}$ 时，连接 $AF$，$CE$，在不添加任何辅助线的情况下，图中面积等于矩形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{8}$ 的三角形是
△ABE,△CDF,△BCE,△ADF
.
答案：9.(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°.在△ABE和△CDF中，$\begin{cases} ∠AEB=∠CFD, \\ ∠ABE=∠CDF, \\ AB=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF
(2)△ABE,△CDF,△BCE,△ADF
10. (分类讨论思想)如图，在矩形 $OABC$ 中，$O$ 为平面直角坐标系的原点，点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,b)$，$a$，$b$ 满足 $\sqrt{a - 4}+\vert b - 6\vert = 0$，点 $B$ 在第一象限内，点 $P$ 从原点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿着 $O - C - B - A - O$ 的线路移动.
(1) 点 $B$ 的坐标为
(4,6)
. 当点 $P$ 移动 $3.5$ 秒时，点 $P$ 的坐标为
(1,6)
.
(2) 当点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ 个单位长度时，求点 $P$ 的移动时间.
(3) 当以 $O$，$B$，$P$ 为顶点的三角形的面积为 $10$ 时，求点 $P$ 的移动时间.
答案：10.(1)(4,6) (1,6)
(2)由题意，可得OA=BC=4,OC=AB=6.当点P到x轴的距离为4个单位长度时，分两种情况讨论:
①当点P在OC上时，OP=4.
∴点P的移动时间为4÷2=2(秒).
②当点P在AB上时，AP=4.
∴点P的移动时间为(6+4+6 - 4)÷2=6(秒).
综上所述，点P的移动时间为2秒或6秒
(3)①当点P在OC上时，如图①.由题意，得$\frac{1}{2}$BC·OP=10,即$\frac{1}{2}$×4OP=10.
∴OP=5，
∴点P的移动时间为5÷2=$\frac{5}{2}$(秒).
②当点P在BC上时，如图②.由题意，得$\frac{1}{2}$OC·PB=10,即$\frac{1}{2}$×6PB=10.
∴PB=$\frac{10}{3}$，
∴CP=$\frac{2}{3}$，
∴点P的移动时间为$(6+\frac{2}{3})÷2=\frac{10}{3}$(秒).
③当点P在AB上时，如图③.由题意，得$\frac{1}{2}$BP·BC=10,即$\frac{1}{2}$BP×4=10.
∴BP=5，
∴点P的移动时间为(6+4+5)÷2=$\frac{15}{2}$(秒).
④当点P在OA上时，如图④.由题意，得$\frac{1}{2}$OP·AB=10,即$\frac{1}{2}$OP×6=10.
∴OP=$\frac{10}{3}$，
∴点P的移动时间为$(6+4+6+4-\frac{10}{3})÷2=\frac{25}{3}$(秒).
综上所述，点P的移动时间为$\frac{5}{2}$秒或$\frac{10}{3}$秒或$\frac{15}{2}$秒或$\frac{25}{3}$秒
