1. (2024·成都)如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，则下列结论一定正确的是(
C
)
A.$AB = AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC = BD$
D.$\angle ACB=\angle ACD$
答案：1.C
2. 在矩形 $ABCD$ 中，$O$ 是 $BC$ 的中点，$\angle AOD = 90^{\circ}$，矩形 $ABCD$ 的周长为 $20\,\mathrm{cm}$，则 $AB$ 的长为(
D
)
A.$1\,\mathrm{cm}$
B.$2\,\mathrm{cm}$
C.$\frac{5}{2}\,\mathrm{cm}$
D.$\frac{10}{3}\,\mathrm{cm}$
答案：2.D
解析：
设$AB = x\,\mathrm{cm}$，$BC = y\,\mathrm{cm}$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AB = CD = x$，$AD = BC = y$，$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$。
$O$是$BC$的中点，所以$BO = OC = \frac{y}{2}$。
矩形周长为$20\,\mathrm{cm}$，则$2(x + y) = 20$，即$x + y = 10$，$y = 10 - x$。
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，$AB = DC$，$\angle B = \angle C$，$BO = CO$，所以$\triangle ABO \cong \triangle DCO$，故$AO = DO$。
因为$\angle AOD = 90^{\circ}$，所以$\triangle AOD$是等腰直角三角形，$AD = \sqrt{2}AO$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABO$中，$AO^2 = AB^2 + BO^2 = x^2 + (\frac{y}{2})^2$。
$AD = y$，所以$y = \sqrt{2} · \sqrt{x^2 + (\frac{y}{2})^2}$，两边平方得$y^2 = 2(x^2 + \frac{y^2}{4})$，化简得$y^2 = 2x^2 + \frac{y^2}{2}$，$\frac{y^2}{2} = 2x^2$，$y^2 = 4x^2$，$y = 2x$（$y ＞ 0$，$x ＞ 0$）。
又$x + y = 10$，将$y = 2x$代入得$x + 2x = 10$，$3x = 10$，$x = \frac{10}{3}$。
$AB$的长为$\frac{10}{3}\,\mathrm{cm}$。
D
3. 如图，将矩形纸片 $ABCD$ 沿 $BE$ 折叠，使点 $A$ 落在对角线 $BD$ 上的点 $A'$ 处. 若 $\angle DBC = 24^{\circ}$，则 $\angle A'EB$ 的度数为
57°
.
答案：3.57°
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle ABC=90^{\circ}$，$AD// BC$，
∴$\angle ADB=\angle DBC=24^{\circ}$，
$\angle ABD=90^{\circ}-\angle DBC=66^{\circ}$。
由折叠性质得：$\angle BA'E=\angle A=90^{\circ}$，$\angle ABE=\angle A'BE$，
∴$\angle A'BE=\frac{1}{2}\angle ABD=33^{\circ}$，
∴$\angle A'EB=90^{\circ}-\angle A'BE=57^{\circ}$。
57°
4. 如图，线段 $BC$ 为等腰三角形 $ABC$ 的底边，矩形 $ADBE$ 的对角线 $AB$ 与 $DE$ 交于点 $O$. 若 $OD = 2$，则 $AC$ 的长为
4
.
答案：4.4
解析：
证明：
∵四边形 $ADBE$ 是矩形，
∴对角线 $AB$ 与 $DE$ 互相平分且相等，即 $AB = DE$，$OD = OE = \frac{1}{2}DE$。
∵ $OD = 2$，
∴ $DE = 2OD = 4$，则 $AB = DE = 4$。
∵ $ABC$ 是等腰三角形，$BC$ 为底边，
∴ $AC = AB = 4$。
答案：$4$
5. (2025·吉林)如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在边 $BC$ 上，连接 $AE$，$DF$，$\angle BAE=\angle CDF$.
(1) 求证：$\triangle ABE\cong\triangle DCF$；
(2) 当 $AB = 12$，$DF = 13$ 时，求 $BE$ 的长.
答案：5.(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠B=∠C=90°.
在△ABE和△DCF中，$\begin{cases} ∠BAE=∠CDF, \\ AB=DC, \\ ∠B=∠C, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(ASA)
(2)
∵△ABE≌△DCF，
∴AE=DF=13.
∵AB=12，
∴在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}$=$\sqrt{13^{2}-12^{2}}$=5
6. (2025·兰州)如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在边 $AB$，$BC$ 上，连接 $EF$ 交对角线 $BD$ 于点 $P$. 若 $P$ 为 $EF$ 的中点，$\angle ADB = 35^{\circ}$，则 $\angle DPE$ 的度数为(
C
)
A.$95^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$145^{\circ}$
答案：6.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OB=OD$，
∵$\angle ADB=35^{\circ}$，$AD// BC$，
∴$\angle DBC=\angle ADB=35^{\circ}$，
∵$P$为$EF$的中点，
∴$PB=PE=PF$（直角三角形斜边中线等于斜边一半的逆用，或等腰三角形性质），
∴$\angle PEB=\angle PBE=35^{\circ}$，
∴$\angle EPB=180^{\circ}-35^{\circ}-35^{\circ}=110^{\circ}$，
∵$\angle DPE=\angle EPB$（对顶角相等），
∴$\angle DPE=110^{\circ}$。
答案：C
