1. 在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，给出下列四组条件：① $AB// CD$，$AD// BC$；② $AB = CD$，$AD = BC$；③ $AO = CO$，$BO = DO$；④ $AB// CD$，$AD = BC$.其中，一定能判定这个四边形是平行四边形的共有(
B
)
A.$4$ 组
B.$3$ 组
C.$2$ 组
D.$1$ 组
答案：1. B
解析：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），不能判定。
一定能判定的有3组。
B
2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$，$\angle CBD = 90^{\circ}$，$BC = 4$，$BE = ED = 3$，$AC = 10$，则四边形 $ABCD$ 的面积为(
D
)
A.$6$
B.$12$
C.$20$
D.$24$
答案：2. D
解析：
解：在$Rt\triangle BCE$中，$\angle CBD=90°$，$BC=4$，$BE=3$，
$\therefore CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because AC=10$，$\therefore AE=AC-CE=10-5=5$，即$AE=CE=5$。
$\because BE=ED=3$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}$。
在$Rt\triangle BCE$中，$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}× BC× BE=\frac{1}{2}×4×3=6$。
$\because AE=CE$，$\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCE}=6$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle BCE}=6+6=12$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2×12=24$。
24
3. 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$.如果 $AO=\frac{1}{2}AC$，$BD = 2BO$，那么四边形 $ABCD$
是
(填“是”或“不是”)平行四边形.
答案：3. 是
4. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，且 $AO = CO$，点 $E$ 在 $BD$ 上，满足 $\angle EAO=\angle DCO$.
(1)求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；
(2)若 $AB = BC$，$CD = 5$，$AC = 8$，则四边形 $AECD$ 的面积为
24
.
]
答案：4. (1) 在△AOE 和△COD 中，$\begin{cases} \angle EAO = \angle DCO, \\ AO = CO, \\ \angle AOE = \angle COD. \end{cases}$
∴△AOE≌
△COD(ASA)，
∴OE = OD. 又
∵AO = CO，
∴四边形 AECD
是平行四边形
(2) 24 解析：
∵AB = BC，AO = CO，
∴OB⊥AC，即 DE⊥
AC.
∵四边形 AECD 是平行四边形，AC = 8，
∴OD = $\frac{1}{2}$DE，
CO = $\frac{1}{2}$AC = 4.
∵CD = 5，
∴在 Rt△COD 中，OD =
$\sqrt{CD^2 - CO^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3，
∴DE = 2OD = 6，
∴S四边形AECD =
$\frac{1}{2}$AC·OE + $\frac{1}{2}$AC·OD = $\frac{1}{2}$AC·DE = $\frac{1}{2}$×8×6 = 24.
5. (2024·河北)有这样一道习题：如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AE$ 平分 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle CAN$，$M$ 是 $AC$ 的中点，连接 $BM$ 并延长，交 $AE$ 于点 $D$，连接 $CD$.求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.小月的解答过程如下：$\because M$ 是 $AC$ 的中点，$\therefore MA = MC$.$\because AE$ 平分 $\angle CAN$，$\therefore \angle 1=\angle 2$.$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC=\angle 3$.$\because \angle CAN=\angle ABC+\angle 3$，$\angle CAN=\angle 1+\angle 2$，$\angle 1=\angle 2$，$\therefore$ ①.又 $\because MA = MC$，$\angle 4=\angle 5$，$\therefore \triangle MAD\cong \triangle MCB$(②)，$\therefore MD = MB$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.若小月的解答过程正确，则①②应分别为(
D
)
A.$\angle 1=\angle 3$，$AAS$
B.$\angle 1=\angle 3$，$ASA$
C.$\angle 2=\angle 3$，$AAS$
D.$\angle 2=\angle 3$，$ASA$
答案：5. D
解析：
证明：
∵ $ M $ 是 $ AC $ 的中点，
∴ $ MA = MC $.
∵ $ AE $ 平分 $ \angle CAN $，
∴ $ \angle 1 = \angle 2 $.
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \angle ABC = \angle 3 $.
∵ $ \angle CAN = \angle ABC + \angle 3 $，$ \angle CAN = \angle 1 + \angle 2 $，$ \angle 1 = \angle 2 $，
∴ $ 2\angle 2 = 2\angle 3 $，即 $ \angle 2 = \angle 3 $.
又
∵ $ MA = MC $，$ \angle 4 = \angle 5 $，
∴ $ \triangle MAD \cong \triangle MCB $（$ ASA $），
∴ $ MD = MB $，
∴ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.
① $ \angle 2 = \angle 3 $，② $ ASA $
D
