9. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$AB = 2CD$，$E$ 为 $AB$ 的中点，请仅用无刻度的直尺画出 $\triangle ABD$ 的边 $BD$ 上的中线（不写作法，保留作图痕迹）。
答案：9.如图，AF即为所求作
10. 如图，$\angle DBC = 90^{\circ}$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形吗？为什么？
答案：10.四边形ABCD是平行四边形
∵在Rt△DBC中,∠DBC=90°,
∴DB²+BC²=DC²,即4²+(x−5)²=(x−3)²,解得x=8,
∴DC=5,BC=3,AD=3.又
∵AB=5,
∴AD=BC,DC=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形
11. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为边 $AD$，$BC$ 的中点，连接 $BE$，$EF$，$DF$，对角线 $AC$ 分别交 $BE$，$DF$ 于点 $G$，$H$。求证：
（1）四边形 $BFDE$ 为平行四边形；
（2）$AG = CH$。
答案：11.(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC,即DE//BF.
∵E,F分别为边AD,BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD,BF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE=BF,
∴四边形BFDE为平行四边形 (2)由(1),得AD=BC,AD//BC,四边形BFDE为平行四边形，
∴∠EAG=∠FCH,∠AEF=∠CFE,BE//DF,
∴∠BEF=∠DFE,
∴∠AEF−∠BEF=∠CFE−∠DFE,即∠AEG=∠CFH.
∵E,F分别为边AD,BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD,CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴AE=CF.在△AEG和△CFH中，$\begin{cases} ∠EAG=∠FCH \\ AE=CF \\ ∠AEG=∠CFH \end{cases}$，
∴△AEG≌△CFH(ASA),
∴AG=CH
12.（新考法·探究题）（2024·浙江）如图①，$E$ 是 $□ ABCD$ 的边 $AD$ 上一点（不与点 $A$，$D$ 重合），连接 $CE$。用尺规作 $AF // CE$，其中 $F$ 是边 $BC$ 上一点。小明的作法如下：如图②，以点 $C$ 为圆心，$AE$ 长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AF$，则 $AF // CE$。小丽的作法如下：以点 $A$ 为圆心，$CE$ 长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AF$，则 $AF // CE$。小明指出小丽的作法有问题。
（1）根据小明的作法，求证：$AF // CE$；
（2）指出小丽的作法中存在的问题。
答案：12.(1)根据小明的作法知,CF=AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.又
∵CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF//CE (2)以点A为圆心,CE长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中一个交点符合题意.
∴小丽的作法有问题
