1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 80^{\circ}$，添加下列条件，不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的为(
D
)
A.$\angle C = 100^{\circ}$
B.$\angle D = 80^{\circ}$
C.$AB // CD$
D.$AD // BC$
答案：1.D
解析：
解：A. $\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 80^{\circ}$，$\angle C = 100^{\circ}$，则$\angle D = 360^{\circ}-100^{\circ}-80^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$，$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$，可判定平行四边形；
B. $\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 80^{\circ}$，$\angle D = 80^{\circ}$，则$\angle C = 360^{\circ}-100^{\circ}-80^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$，$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$，可判定平行四边形；
C. $AB // CD$，$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$，$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 80^{\circ}$，则$\angle D = 80^{\circ}$，$\angle C = 100^{\circ}$，$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$，可判定平行四边形；
D. $AD // BC$，$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$，已知$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 80^{\circ}$，满足$AD // BC$，但不能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
答案：D
2. 如图，$E$ 是 $□ ABCD$ 的边 $AD$ 的延长线上一点，连接 $BE$，$CE$，$BD$，$BE$ 交 $CD$ 于点 $F$。添加以下条件，不能判定四边形 $BCED$ 为平行四边形的是(
C
)
A.$\angle ABD = \angle DCE$
B.$DF = CF$
C.$\angle AEB = \angle BCD$
D.$\angle AEC = \angle CBD$
答案：2.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// CD$，$AD=BC$，$AB=CD$。
选项A：
∵$\angle ABD=\angle DCE$，$AB// CD$，
∴$\angle ABD=\angle BDC$（内错角相等），
∴$\angle DCE=\angle BDC$，
∴$BD// CE$，
又$DE// BC$，
∴四边形$BCED$是平行四边形。
选项B：
∵$AB// CD$，
∴$\angle EDF=\angle BCF$，$\angle DEF=\angle CBF$，
又$DF=CF$，
∴$\triangle EDF\cong\triangle BCF$（AAS），
∴$DE=BC$，
又$DE// BC$，
∴四边形$BCED$是平行四边形。
选项C：
∵$AD// BC$，
∴$\angle AEB=\angle EBC$，
若$\angle AEB=\angle BCD$，则$\angle EBC=\angle BCD$，
∴$BE// CD$，
但无法直接得出$BD// CE$或$DE=BC$，
不能判定四边形$BCED$为平行四边形。
选项D：
∵$AD// BC$，
∴$\angle ADB=\angle DBC$，
又$\angle AEC=\angle CBD$，
∴$\angle ADB=\angle AEC$，
∴$BD// CE$，
又$DE// BC$，
∴四边形$BCED$是平行四边形。
综上，不能判定的是选项C。
答案：C
3.(教材变式)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，垂足分别为 $E$，$F$。请你只添加一个条件：
答案不唯一,如AE=CF
(不另加辅助线)，使得四边形 $AECF$ 为平行四边形。
答案：3.答案不唯一,如AE=CF
4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$\angle BAD = 120^{\circ}$，连接 $BD$，过点 $A$ 作 $AE // BD$，交 $CD$ 的延长线于点 $E$，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$，交 $BC$ 的延长线于点 $F$，且 $CF = 1$，则 $AB$ 的长为
1
。
答案：4.1
解析：
解：设$AB = x$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD = x$，$AD// BC$，$\angle BCD=\angle BAD = 120^{\circ}$，则$\angle ECF=60^{\circ}$。
因为$AE// BD$，$AB// DE$，所以四边形$ABDE$是平行四边形，所以$DE = AB = x$，则$CE=CD + DE=2x$。
因为$EF⊥ BC$，$\angle ECF = 60^{\circ}$，$CF = 1$，在$Rt\triangle ECF$中，$\cos\angle ECF=\frac{CF}{CE}$，即$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2x}$。
$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}=\frac{1}{2x}$，解得$x = 1$。
故$AB$的长为$1$。
$1$
5.（2024·武汉改编）如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$AD$ 上，$AF = CE$，连接 $EF$，$AE$，$CF$。
（1）求证：$\triangle ABE \cong \triangle CDF$。
（2）当点 $E$ 在线段 $BC$ 的什么位置时，四边形 $ABEF$ 是平行四边形？为什么？
答案：5.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,
∴AD−AF=BC−CE,
∴DF=BE.在△ABE和△CDF中，$\begin{cases} AB=CD \\ ∠B=∠D \\ BE=DF \end{cases}$，
∴△ABE≌△CDF(SAS) (2)当E是BC的中点时，四边形ABEF是平行四边形
∵E是BC的中点，
∴BE=EC.又
∵AF=EC,
∴BE=AF.
∵BE//AF,
∴四边形ABEF是平行四边形
6.(易错题)在四边形 $ABCD$ 中，有下列条件：① $AB // CD$；② $AD // BC$；③ $AB = CD$；④ $AD = BC$。从中选择两个条件，使四边形 $ABCD$ 为平行四边形的选法共有(
B
)
A.$3$ 种
B.$4$ 种
C.$5$ 种
D.$6$ 种
答案：6.B [易错分析]本题条件①④，②③的组合的反例是等腰梯形.
7.(2024·辽宁)如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE // AC$，$CE // BD$，$DE$，$CE$ 相交于点 $E$。若 $AC = 3$，$BD = 5$，则四边形 $OCED$ 的周长为(
C
)
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$16$
答案：7.C
解析：
证明：
∵ $DE // AC$，$CE // BD$，
∴ 四边形 $OCED$ 是平行四边形。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{3}{2}$，$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{2}$。
∵ 四边形 $OCED$ 是平行四边形，
∴ $CE = OD = \frac{5}{2}$，$DE = OC = \frac{3}{2}$。
∴ 四边形 $OCED$ 的周长为 $2(OC + OD) = 2(\frac{3}{2} + \frac{5}{2}) = 8$。
答案：C
8.(分类讨论思想)在平面直角坐标系中，有四个点 $O(0,0)$，$A(3,0)$，$B(1,1)$，$C(x,1)$，则当 $x$ 的值为
4或−2
时，以 $O$，$A$，$B$，$C$ 为顶点的四边形是平行四边形。
答案：8.4或−2
解析：
分三种情况讨论：
1. 当OA为平行四边形的边时，OA平行且等于BC。OA的长度为3，方向向右，所以点C的坐标为(1+3,1)=(4,1)，即x=4；
2. 当OA为平行四边形的边时，OA平行且等于CB。OA的长度为3，方向向左，所以点C的坐标为(1-3,1)=(-2,1)，即x=-2；
3. 当OA为平行四边形的对角线时，OA的中点坐标为(1.5,0)，则BC的中点也为(1.5,0)，可得$\frac{1+x}{2}=1.5$，解得x=2，此时点C(2,1)，但此时OB与AC不平行，不符合平行四边形条件，舍去。
综上，x的值为4或-2。
