解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$为$BD$中点，$AB = CD$，$AD = BC$。
∵$OE⊥BD$，
∴$OE$垂直平分$BD$，
∴$BE = DE$。
∵$\triangle ABE$的周长为$14$，
∴$AB + AE + BE=14$，
即$AB + AE + DE = AB + AD=14$。
∴$□ABCD$的周长为$2(AB + AD)=2×14 = 28$。
答案：A

设平行四边形$ABCD$的邻边$AB = x\ \mathrm{cm}$，$BC = y\ \mathrm{cm}$。
因为平行四边形的对边相等，周长为$52\ \mathrm{cm}$，所以$2(x + y)=52$，即$x + y = 26$。
由于平行四边形的对角线互相平分，所以$OB = OD$，$OC$为$\triangle BOC$和$\triangle DOC$的公共边。
$\triangle BOC$的周长为$OB + OC + BC$，$\triangle DOC$的周长为$OD + OC + CD$，已知它们的周长差为$6\ \mathrm{cm}$，且$AB = CD = x$，$BC = AD = y$，则$|(OB + OC + BC)-(OD + OC + CD)|=6$，即$|y - x| = 6$。
分两种情况：
当$y - x = 6$时，联立$\begin{cases}x + y = 26\\y - x = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 10\\y = 16\end{cases}$。
当$x - y = 6$时，联立$\begin{cases}x + y = 26\\x - y = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 16\\y = 10\end{cases}$。
综上，这个平行四边形的两条邻边的长分别为$16\ \mathrm{cm}$，$10\ \mathrm{cm}$。

解：在$□ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，
$\therefore AC = 2AO = 2×3 = 6$。
过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$，
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$AB = 4$，
$\therefore BE = AB·\sin30^{\circ}=4×\frac{1}{2}=2$。
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}×6×2 = 6$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore S_{□ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2×6 = 12$。
故答案为：$12$。

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD = BC = 3$，$OB=\frac{1}{2}BD = 2$，$OC=\frac{1}{2}AC$。
在$\triangle ABD$中，$AD = 3$，$AB = 5$，$BD = 4$，
∵$AD^{2}+BD^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$AB^{2}=5^{2}=25$，
∴$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，
∴$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOD$中，$AD = 3$，$OD = OB = 2$，
∴$AO=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$，
∴$OC = AO=\sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$

解：在$\mathrm{Rt}\triangle ACB$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
因为四边形$ACPD$是平行四边形，所以$CD=AP$，$CD// AP$。要使$CD$长最小，即需$AP$长最小。
当$AP⊥ AB$时，$AP$最小，此时$AP$为点$A$到$AB$的距离，即$\triangle ACB$中$AB$边上的高。
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· h$（$h$为$AB$边上的高），则$h=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
因为$CD=AP$，所以$CD$的最小值为$\frac{12}{5}×2=\frac{24}{5}$。
$\frac{24}{5}$