1. (2024·贵州)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，则下列结论一定正确的是(
B
)
A.$AB = BC$
B.$AD = BC$
C.$OA = OB$
D.$AC⊥ BD$
答案：1.B
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD = BC$（平行四边形对边相等）。
B
2. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$\angle ODA = 90^{\circ}$，$AC = 10$，$BD = 6$，则$BC$的长为(
A
)
A.4
B.5
C.6
D.8
答案：2.A
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AC = 10$，$BD = 6$，
∴$OA = OC=\frac{1}{2}AC = 5$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD = 3$。
∵$\angle ODA=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ODA$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC = AD = 4$。
答案：A
3. (整体思想)在$□ ABCD$中，$AD = 10$，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AC + BD = 22$，则$\triangle BOC$的周长为
21
.
答案：3.21
解析：
解：在$□ABCD$中，$AD=BC=10$，$O$为$AC$、$BD$中点，故$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$。
$\triangle BOC$周长$=OB+OC+BC=\frac{1}{2}(AC+BD)+BC$。
已知$AC+BD=22$，则$\frac{1}{2}(AC+BD)=11$。
所以周长$=11 + 10=21$。
21
4. 在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.若$\triangle AOB$的面积为$3$，则$□ ABCD$的面积为
12
.
答案：4.12
解析：
在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，则$O$为$AC$和$BD$的中点，即$AO = OC$，$BO = OD$。
因为$\triangle AOB$与$\triangle AOD$等底（$AO$为公共底）同高（从$D$和$B$向$AC$作垂线，高相等），所以$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOD}=3$。
同理，$\triangle AOB$与$\triangle COB$等底（$BO$为公共底）同高，所以$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB}=3$；$\triangle AOD$与$\triangle COD$等底（$OD$为公共底）同高，所以$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}=3$。
则$□ ABCD$的面积为$S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COB}+S_{\triangle COD}=3 + 3+3 + 3=12$。
12
5. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为边$AB$上的动点(不与点$A$，$B$重合)，连接$EO$并延长，交$CD$于点$F$，图中三个涂色部分①，②，③的面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，则$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$之间的数量关系为
S₁+S₂=S₃
.
答案：5.S₁+S₂=S₃
解析：
解：在$□ABCD$中，$AB// CD$，$OA=OC$，$OB=OD$。
因为$AB// CD$，所以$\angle OAE=\angle OCF$，$\angle OEA=\angle OFC$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，
$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF \\\angle OEA=\angle OFC \\OA=OC\end{cases}$
所以$\triangle AOE\cong\triangle COF(AAS)$，则$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle COF}$。
因为$OB=OD$，所以$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOD}$，$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle DOC}$。
$S_{1}=S_{\triangle BOE}$，$S_{2}=S_{\triangle DOF}$，$S_{3}=S_{\triangle AOD}$。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle COF}+S_{1}$，$S_{\triangle DOC}=S_{\triangle DOF}+S_{\triangle COF}=S_{2}+S_{\triangle COF}$。
又因为$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle DOC}$，所以$S_{\triangle COF}+S_{1}=S_{2}+S_{\triangle COF}$，即$S_{1}=S_{\triangle DOC}-S_{\triangle COF}$。
$S_{3}=S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ADC}-S_{\triangle DOC}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}-S_{\triangle DOC}$。
$S_{1}+S_{2}=S_{\triangle BOE}+S_{\triangle DOF}=(S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AOE})+(S_{\triangle DOC}-S_{\triangle COF})$，因为$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle COF}$，$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle DOC}$，所以$S_{1}+S_{2}=S_{\triangle DOC}-S_{\triangle COF}+S_{\triangle DOC}-S_{\triangle COF}=2(S_{\triangle DOC}-S_{\triangle COF})$，又因为$S_{1}=S_{\triangle DOC}-S_{\triangle COF}$，所以$S_{1}+S_{2}=2S_{1}$，即$S_{2}=S_{1}$，则$S_{1}+S_{2}=2S_{1}$。
又因为$S_{3}=S_{\triangle AOD}=S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOE}+S_{1}=S_{\triangle COF}+S_{1}=S_{\triangle DOC}-S_{2}+S_{1}=S_{\triangle DOC}-S_{1}+S_{1}=S_{\triangle DOC}$，而$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle DOC}$，$S_{\triangle AOB}=S_{1}+S_{\triangle AOE}$，$S_{3}=S_{\triangle AOD}=S_{\triangle AOB}=S_{1}+S_{\triangle AOE}$，$S_{2}=S_{\triangle DOF}=S_{\triangle B O E}=S_{1}$，所以$S_{1}+S_{2}=S_{1}+S_{1}=2S_{1}$，$S_{3}=S_{\triangle AOD}=S_{\triangle AOB}=S_{1}+S_{\triangle AOE}$，又因为$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle COF}$，$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle AOD}=S_{3}$，$S_{\triangle BOC}=S_{2}+S_{\triangle COF}=S_{1}+S_{\triangle AOE}$，所以$S_{3}=S_{1}+S_{\triangle AOE}$，而$S_{\triangle AOE}=S_{3}-S_{1}$，又因为$S_{1}+S_{2}=2S_{1}$，且$S_{3}=S_{1}+(S_{3}-S_{1})=S_{3}$，综上可得$S_{1}+S_{2}=S_{3}$。
$S_{1}+S_{2}=S_{3}$
6. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，点$E$，$F$分别在$OB$，$OD$上，连接$AF$，$CE$，$AF// CE$.求证：
（1）$\triangle AFO\cong \triangle CEO$；
（2）$DF = BE$.
答案：6.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AF//CE，
∴∠AFO=∠CEO.在△AOF和△COE中，$\begin{cases}∠AFO = ∠CEO,\\∠AOF = ∠COE,\\OA = OC,\end{cases}$
∴△AOF≌△COE(AAS) (2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB.由(1)知，△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∴OD−OF=OB−OE，即DF=BE
7. (教材变式)(2025·湖北)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$的交点是原点$O$.若点$A$的坐标是$(-1,2)$，则点$C$的坐标是(
C
)
A.$(2,-1)$
B.$(-2,1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$
答案：7.C
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$与$BD$交于原点$O$，
∴点$A$与点$C$关于原点对称。
∵点$A$的坐标是$(-1,2)$，
∴点$C$的坐标是$(1,-2)$。
答案：C
