8. (2024·眉山)如图，在$□ ABCD$中，$O$为$BD$的中点，$EF$经过点$O$.有下列结论：①$AB// DC$；②$EO = ED$；③$\angle A=\angle C$；④$S_{\mathrm{四边形}ABOE}=S_{\mathrm{四边形}CDOF}$.其中，一定正确的有(
C
)
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案：8．C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴①$AB// DC$（平行四边形对边平行），③$\angle A=\angle C$（平行四边形对角相等），故①③正确；
∵$O$为$BD$中点，$EF$过点$O$，
易证$\triangle EOD\cong\triangle FOB$（$ASA$），$\triangle AOB\cong\triangle COD$（$SAS$），
∴$S_{\triangle EOD}=S_{\triangle FOB}$，$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}ABOE}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle EOB}=S_{\triangle COD}+S_{\triangle FOD}=S_{\mathrm{四边形}CDOF}$，故④正确；
②$EO=ED$无法由已知条件推出，错误．
综上，正确的有①③④，共3个．
答案：C
9. 如图，在$□ ABCD$中，$DF$平分$\angle ADC$，交$AB$于点$F$，$BE// DF$，交$AD$的延长线于点$E$.若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle ABE$的度数为
70°
.
答案：9．70°
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，$\angle ADC + \angle A = 180°$。
∵$\angle A = 40°$，
∴$\angle ADC = 180° - 40° = 140°$。
∵$DF$平分$\angle ADC$，
∴$\angle ADF = \frac{1}{2}\angle ADC = 70°$。
∵$AB// CD$，
∴$\angle AFD = \angle CDF = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
∵$BE// DF$，
∴$\angle ABE = \angle AFD = 70°$（两直线平行，同位角相等）。
故$\angle ABE$的度数为$70°$。
$70°$
10. (教材变式)如图，在平面直角坐标系中，$□ ABCD$的顶点$A$，$C$，$D$的坐标分别是$( - 1,2)$，$(2, - 1)$，$(3,2)$，则顶点$B$的坐标是
(-2，-1)
.
答案：10．(-2，-1)
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$。
∵$A(-1,2)$，$D(3,2)$，
∴$AD$的长度为$3 - (-1)=4$，且$AD$平行于$x$轴，
∴$BC$也平行于$x$轴，$BC = 4$。
∵$C(2,-1)$，点$B$在点$C$左侧，
∴点$B$的横坐标为$2 - 4=-2$，纵坐标为$-1$，
∴顶点$B$的坐标是$(-2,-1)$。
$(-2,-1)$
11. (分类讨论思想)已知四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = 6$，$\angle BAD$的平分线交直线$BC$于点$E$.若$CE = 2$，则$□ ABCD$的周长为
20或28
.
答案：11．20或28
解析：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB = CD = 6$，$AD = BC$。
情况一：点$E$在线段$BC$上
∵$AE$平分$\angle BAD$，
∴$\angle BAE=\angle DAE$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAE = \angle AEB$，
∴$\angle BAE=\angle AEB$，
∴$BE = AB = 6$。
∵$CE = 2$，
∴$BC=BE + CE=6 + 2=8$，
∴平行四边形$ABCD$的周长为$2×(AB + BC)=2×(6 + 8)=28$。
情况二：点$E$在$BC$的延长线上
∵$AE$平分$\angle BAD$，
∴$\angle BAE=\angle DAE$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAE = \angle AEC$，
∴$\angle BAE=\angle AEC$，
∴$BE = AB = 6$。
∵$CE = 2$，
∴$BC=BE - CE=6 - 2=4$，
∴平行四边形$ABCD$的周长为$2×(AB + BC)=2×(6 + 4)=20$。
综上，$□ ABCD$的周长为$20$或$28$。
12. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$AD$，$BC$上，且$ED = FB$，连接$AF$，$CE$.求证：四边形$AFCE$是平行四边形.
答案：12．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，DC = BA，∠D = ∠B．又
∵ED = FB，
∴△EDC≌△FBA(SAS)，
∴∠CED = ∠AFB．
∵AD//BC，
∴∠CED = ∠ECB，
∴∠AFB = ∠ECB，
∴AF//EC．又
∵AE//FC，
∴四边形AFCE是平行四边形
13. 如图，在$□ ABCD$中，$\angle BCD = 120^{\circ}$，分别延长$DC$，$BC$到点$E$，$F$，连接$AE$，$BE$，$AF$，$DF$，使$\triangle BCE$和$\triangle CDF$都是等边三角形.
（1）求证：$AE = FA$；
（2）求$\angle EAF$的度数.
答案：13．(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC = ∠ADC，AB = CD，BC = DA．
∵△BCE和△CDF都是等边三角形，
∴BE = BC，FD = CD，∠EBC = ∠CDF = 60°，
∴AB = FD，BE = DA，∠ABC + ∠EBC = ∠ADC + ∠CDF，即∠ABE =
∠FDA.在△ABE和△FDA中，$\begin{cases}AB = FD \\ \angle ABE = \angle FDA \\ BE = DA\end{cases}，$
∴△ABE≌△FDA(SAS)，
∴AE = FA (2)由(1)，得△ABE≌△FDA，∠EBC = 60°，
∴∠AEB = ∠FAD．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD = 120°，
∴∠BAD = ∠BCD = 120°，AB//CD，
∴∠ABF = 180° - ∠BCD = 180° - 120° = 60°，
∴∠ABE = ∠ABF + ∠EBC = 60° + 60° = 120°，
∴∠AEB + ∠BAE = 180° - ∠ABE = 180° - 120° = 60°，
∴∠FAD + ∠BAE = 60°，
∴∠EAF = ∠BAD - (∠FAD + ∠BAE) = 120° - 60° = 60°
