11. 若 $ x $ 和 $ y $ 互为倒数，则 $(x + \frac{1}{y})(2y - \frac{1}{x})$ 的值为
2
.
答案：11. 2
解析：
解：因为$x$和$y$互为倒数，所以$xy = 1$。
$\begin{aligned}&(x + \frac{1}{y})(2y - \frac{1}{x})\\=&x·2y - x·\frac{1}{x} + \frac{1}{y}·2y - \frac{1}{y}·\frac{1}{x}\\=&2xy - 1 + 2 - \frac{1}{xy}\\\end{aligned}$
将$xy = 1$代入上式：
$\begin{aligned}&2×1 - 1 + 2 - \frac{1}{1}\\=&2 - 1 + 2 - 1\\=&2\end{aligned}$
2
12. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{ax - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3x - 1}{2 - x}$ 的解为正数，且关于 $ y $ 的一元一次不等式组 $\begin{cases}\frac{3y - 2}{2} \leq y - 1 \\ y + 2 ＞ a\end{cases}$ 有解，则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和是 ______ .
答案：12. -4 解析：根据题意，得方程$\frac{ax-3}{x-2}+1=\frac{3x-1}{2-x}$的解为$x=\frac{6}{a+4}. $
∵ 该分式方程的解为正数，
∴ a+4＞0且$\frac{6}{a+4}≠2，$解得a＞-4且a≠-1.解不等式组$\begin{cases}\frac{3y-2}{2} \leq y-1, \\ y+2＞a,\end{cases} $得$\begin{cases}y \leq 0, \\ y＞a-2.\end{cases}$
∵ 该不等式组有解，
∴ a-2＜0，解得a＜2.综上所述，-4＜a＜2且a≠-1.
∵ a为整数，
∴ 满足条件的整数a=-3，-2，0，1，它们的和为-3-2+0+1=-4.
13. 计算：
（1）$\frac{a^{2}}{a - 1} - a - 1$；
（2）（2025·龙东地区）$\frac{1}{a^{2} - 1} · \frac{a^{2} - 2a + 1}{a} + \frac{1}{a}$；
（3）（2025·烟台）$(2 + m + \frac{4}{m - 2}) ÷ \frac{m}{3m - 6}$；
（4）$(\frac{a}{a - 1} + \frac{5a + 9}{a^{2} - 1}) ÷ \frac{a + 3}{a - 1}$.
答案：$13. (1) \frac{1}{a-1} (2) \frac{2}{a+1} (3) 3m (4) \frac{a+3}{a+1}$
解析：
（1）$\frac{a^{2}}{a - 1} - a - 1$
$=\frac{a^{2}}{a - 1} - (a + 1)$
$=\frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$
$=\frac{a^{2} - (a^{2} - 1)}{a - 1}$
$=\frac{a^{2} - a^{2} + 1}{a - 1}$
$=\frac{1}{a - 1}$
（2）$\frac{1}{a^{2} - 1} · \frac{a^{2} - 2a + 1}{a} + \frac{1}{a}$
$=\frac{1}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{(a - 1)^{2}}{a} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a - 1}{a(a + 1)} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a - 1}{a(a + 1)} + \frac{a + 1}{a(a + 1)}$
$=\frac{a - 1 + a + 1}{a(a + 1)}$
$=\frac{2a}{a(a + 1)}$
$=\frac{2}{a + 1}$
（3）$(2 + m + \frac{4}{m - 2}) ÷ \frac{m}{3m - 6}$
$=(\frac{(2 + m)(m - 2)}{m - 2} + \frac{4}{m - 2}) ÷ \frac{m}{3(m - 2)}$
$=(\frac{m^{2} - 4 + 4}{m - 2}) · \frac{3(m - 2)}{m}$
$=\frac{m^{2}}{m - 2} · \frac{3(m - 2)}{m}$
$=3m$
（4）$(\frac{a}{a - 1} + \frac{5a + 9}{a^{2} - 1}) ÷ \frac{a + 3}{a - 1}$
$=(\frac{a(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{5a + 9}{(a - 1)(a + 1)}) · \frac{a - 1}{a + 3}$
$=\frac{a^{2} + a + 5a + 9}{(a - 1)(a + 1)} · \frac{a - 1}{a + 3}$
$=\frac{a^{2} + 6a + 9}{(a - 1)(a + 1)} · \frac{a - 1}{a + 3}$
$=\frac{(a + 3)^{2}}{(a - 1)(a + 1)} · \frac{a - 1}{a + 3}$
$=\frac{a + 3}{a + 1}$
14. 解方程：
（1）（2025·北京）$\frac{2}{x - 6} + \frac{1}{x} = 0$；
（2）（2025·广东）$\frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} - 2$.
答案：14. (1) x=2 (2) 无解
解析：
（1）方程两边同乘$x(x - 6)$，得$2x + (x - 6) = 0$，解得$x = 2$，经检验，$x = 2$是原方程的解。
（2）方程两边同乘$x - 2$，得$1 - x = -1 - 2(x - 2)$，解得$x = 2$，经检验，$x = 2$是增根，原方程无解。
