1. 当 $ x = 1 $ 时，下列式子没有意义的是(
B
)
A.$\frac{x + 1}{x}$
B.$\frac{x}{x - 1}$
C.$\frac{x - 1}{x}$
D.$\frac{x}{x + 1}$
答案：1. B
解析：
当$x = 1$时：
选项A：$\frac{x + 1}{x}=\frac{1 + 1}{1}=2$，有意义；
选项B：$\frac{x}{x - 1}=\frac{1}{1 - 1}$，分母为$0$，无意义；
选项C：$\frac{x - 1}{x}=\frac{1 - 1}{1}=0$，有意义；
选项D：$\frac{x}{x + 1}=\frac{1}{1 + 1}=\frac{1}{2}$，有意义。
B
2. (2025·贵州)若分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 的值为 0，则实数 $ x $ 的值为(
A
)
A.2
B.0
C.$-2$
D.$-3$
答案：2. A
解析：
要使分式$\frac{x - 2}{x + 3}$的值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。
分子$x - 2 = 0$，解得$x = 2$；
分母$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$。
综上，$x = 2$。
A
3. (2024·泸州)分式方程 $\frac{1}{x - 2} - 3 = \frac{2}{2 - x}$ 的解是(
D
)
A.$ x = -\frac{7}{3} $
B.$ x = -1 $
C.$ x = \frac{5}{3} $
D.$ x = 3 $
答案：3. D
解析：
解：方程两边同乘$x - 2$，得$1 - 3(x - 2) = -2$，
去括号，得$1 - 3x + 6 = -2$，
移项、合并同类项，得$-3x = -9$，
解得$x = 3$，
经检验，$x = 3$是原分式方程的解。
D
4. (2025·齐齐哈尔改编)如果关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{mx}{1 - x} + \frac{x}{x - 1} = 2$($ m $ 为实数)无解，那么(
C
)
A.$ m = 1 $
B.$ m = -1 $
C.$ m = 1 $ 或 $ m = -1 $
D.$ m \neq 1 $ 且 $ m \neq -1 $
答案：4. C
解析：
方程两边同乘$x - 1$，得$-mx + x = 2(x - 1)$，化简得$(-m - 1)x = -2$。
情况一：当$-m - 1 = 0$，即$m = -1$时，方程左边为$0$，右边为$-2$，方程无解。
情况二：当$-m - 1 \neq 0$，即$m \neq -1$时，解得$x = \frac{2}{m + 1}$。因为原方程无解，所以$x = \frac{2}{m + 1}$是增根，即$\frac{2}{m + 1} = 1$，解得$m = 1$。
综上，$m = 1$或$m = -1$。
C
5. 如果 $ a - b = 2\sqrt{3} $，那么代数式 $(\frac{a^{2} + b^{2}}{2a} - b) · \frac{a}{a - b}$ 的值为(
A
)
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案：5. A
解析：
$\begin{aligned}&(\frac{a^{2} + b^{2}}{2a} - b) · \frac{a}{a - b}\\=&(\frac{a^{2} + b^{2} - 2ab}{2a}) · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{(a - b)^{2}}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a - b}{2}\\\end{aligned}$
因为 $a - b = 2\sqrt{3}$，所以原式$=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
A
6. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2x + 3}{x - 2} = \frac{k}{(x - 2)(x + 3)} + 2$ 的解满足 $-4 ＜ x ＜ -1$，且 $ k $ 为整数，则符合条件的所有 $ k $ 的值的乘积为(
A
)
A.正数
B.负数
C.0
D.无法确定
答案：6. A 解析：解分式方程，得$x=\frac{k}{7}-3.$由题意，得-4＜x＜-1且x≠2且x≠-3，即-4＜\frac{k}{7}-3＜-1且$\frac{k}{7}-3≠2$且$\frac{k}{7}-3≠-3，$解得-7＜k＜14且k≠0.
∴ 整数k=-6或-5或-4或-3或-2或-1或1或2或3或4或5或6或7或8或9或10或11或12或13.
∴ 符合条件的所有k的值的乘积为正数.
7. (2024·绥化)一艘货轮在静水中的航速为 $ 40 \mathrm{ km/h} $，它以该航速沿江顺流航行 $ 120 \mathrm{ km} $ 所用的时间与以该航速沿江逆流航行 $ 80 \mathrm{ km} $ 所用的时间相同，则江水的流速为(
D
)
A.$ 5 \mathrm{ km/h} $
B.$ 6 \mathrm{ km/h} $
C.$ 7 \mathrm{ km/h} $
D.$ 8 \mathrm{ km/h} $
答案：7. D
解析：
设江水的流速为$x\ \mathrm{km/h}$。
顺流速度为$(40 + x)\ \mathrm{km/h}$，逆流速度为$(40 - x)\ \mathrm{km/h}$。
由题意得：$\dfrac{120}{40 + x} = \dfrac{80}{40 - x}$
交叉相乘：$120(40 - x) = 80(40 + x)$
化简：$4800 - 120x = 3200 + 80x$
移项：$-120x - 80x = 3200 - 4800$
合并同类项：$-200x = -1600$
解得：$x = 8$
经检验，$x = 8$是原方程的解，且符合题意。
D
8. (1)对于分式 $\frac{3x}{|x| - 5}$，当 $ x = $
±5
时，该分式无意义；当 $ x = $
0
时，该分式的值为 0.
(2)若分式 $\frac{x^{2} - 5x + 6}{2x - 6}$ 的值为 0，则 $ x $ 的值为
2
.
答案：8. (1) ±5 0 (2) 2
9. 计算：
(1)$\frac{3}{2ab} + \frac{1}{4a^{2}} =$
$\frac{6a+b}{4a^{2}b}$
；
(2)(2025·江西)$(\frac{1}{m + 1} + \frac{1}{m - 1}) ÷ \frac{m}{m^{2} + 2m + 1} =$
$\frac{2m+2}{m-1}$
.
答案：$9. (1) \frac{6a+b}{4a^{2}b} (2) \frac{2m+2}{m-1}$
10. (1)已知 $ x - y = 3$，$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，则 $ x^{2}y - xy^{2} $ 的值为
-3
；
(2)若关于 $ x $ 的方程 $\frac{3}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} = \frac{a}{x^{2} - 1}$ 有增根，则 $ a $ 的值为
-6或-4
.
答案：10. (1) -3 (2) -6或-4
解析：
(1)
因为 $ x - y = 3 $，$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，
所以 $\frac{y - x}{xy} = 3$，即 $\frac{-(x - y)}{xy} = 3$。
将 $ x - y = 3 $ 代入，得 $\frac{-3}{xy} = 3$，解得 $ xy = -1 $。
则 $ x^2y - xy^2 = xy(x - y) = (-1) × 3 = -3 $。
(2)
方程两边同乘 $(x + 1)(x - 1)$，得 $-3(x + 1) + 2(x - 1) = a$。
因为方程有增根，所以 $(x + 1)(x - 1) = 0$，即 $ x = 1 $ 或 $ x = -1 $。
当 $ x = 1 $ 时，$-3(1 + 1) + 2(1 - 1) = a$，解得 $ a = -6 $；
当 $ x = -1 $ 时，$-3(-1 + 1) + 2(-1 - 1) = a$，解得 $ a = -4 $。
故 $ a = -6 $ 或 $ -4 $。
-3
-6或-4
