1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的为(
D
)
A.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
B.$a^2 + 2a + 3 = a(a + 2) + 3$
C.$30 = 2×3×5$
D.$2a^2 - 6ab = 2a(a - 3b)$
答案：1. D
2. 下列各组多项式中，没有公因式的为(
C
)
A.$3x - 2$与$6x^2 - 4x$
B.$3(a - b)^2$与$11(b - a)^3$
C.$ab - ac$与$ab - bc$
D.$mx - my$与$ny - nx$
答案：2. C
解析：
A. $6x^2 - 4x = 2x(3x - 2)$，公因式为$3x - 2$；
B. $11(b - a)^3 = -11(a - b)^3$，公因式为$(a - b)^2$；
C. $ab - ac = a(b - c)$，$ab - bc = b(a - c)$，无公因式；
D. $mx - my = m(x - y)$，$ny - nx = -n(x - y)$，公因式为$x - y$。
C
3. 有下列多项式：①$a^2 + ab + b^2$；②$a^2 - a + \frac{1}{4}$；③$9a^2 - 24ab + 4b^2$；④$-a^2 + 8a - 16$.其中，能用完全平方公式分解因式的有(
B
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：3. B
解析：
①$a^2 + ab + b^2$，中间项不是$2ab$，不能用完全平方公式分解因式；
②$a^2 - a + \frac{1}{4}=a^2 - 2× a× \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2=(a - \frac{1}{2})^2$，能用完全平方公式分解因式；
③$9a^2 - 24ab + 4b^2=(3a)^2 - 24ab + (2b)^2$，中间项不是$2×3a×2b = 12ab$，不能用完全平方公式分解因式；
④$-a^2 + 8a - 16=-(a^2 - 8a + 16)=-(a - 4)^2$，能用完全平方公式分解因式。
能用完全平方公式分解因式的有②④，共2个。
B
4. 如果一个多项式因式分解的结果是$(b^3 + 2)(2 - b^3)$，那么这个多项式为(
A
)
A.$4 - b^6$
B.$b^6 - 4$
C.$b^6 + 4$
D.$-b^6 - 4$
答案：4. A
解析：
$(b^3 + 2)(2 - b^3) = 2^2 - (b^3)^2 = 4 - b^6$，A
5. 把$m^3 - 4m^2 + 4m$分解因式，结果正确的是(
B
)
A.$m(m^2 - 4m + 4)$
B.$m(m - 2)^2$
C.$2m(m - 2)^2$
D.$m(m^2 - 2m + 4)$
答案：5. B
解析：
$m^3 - 4m^2 + 4m$
$=m(m^2 - 4m + 4)$
$=m(m - 2)^2$
结果正确的是B。
6. 若$m + 101^2 - 1 = 102^2$，则$m$的值为(
D
)
A.100
B.101
C.200
D.204
答案：6. D
解析：
$m = 102^2 - 101^2 + 1$
$=(102 - 101)(102 + 101) + 1$
$=1×203 + 1$
$=204$
D
7. 单项式$8a^2b^2$，$-12ab^3$，$6a^2bc$的公因式为
2ab
.
答案：7. 2ab
8. 如果$x^2 - kxy + 9y^2$是一个完全平方式展开后的结果，那么常数$k$的值为
$\pm 6$
.
答案：$8. \pm 6$
解析：
解：因为$x^2 - kxy + 9y^2$是完全平方式，所以$x^2 - kxy + 9y^2=(x\pm 3y)^2$。
展开$(x + 3y)^2=x^2 + 6xy + 9y^2$，对比可得$-k=6$，即$k=-6$；
展开$(x - 3y)^2=x^2 - 6xy + 9y^2$，对比可得$-k=-6$，即$k=6$。
综上，$k=\pm 6$。
9. (整体思想)已知$x - y = 2$，$y - z = 2$，$x + z = -14$，则$x^2 - z^2$的值为
-56
.
答案：9. -56
解析：
由$x - y = 2$，$y - z = 2$，两式相加得$x - z = 4$。
因为$x^2 - z^2 = (x + z)(x - z)$，已知$x + z = -14$，$x - z = 4$，
所以$x^2 - z^2 = (-14)×4 = -56$。
-56
10. (分类讨论思想)若多项式$x^2 + px - 6$可分解成$(x + m)(x + n)$，其中$m$，$n$为整数，则符合条件的$p$的值有
4
个.
答案：10. 4
解析：
因为多项式$x^2 + px - 6$可分解成$(x + m)(x + n)$，其中$m$，$n$为整数，所以$mn=-6$。
$mn=-6$的整数解有：
$m=1$，$n=-6$，此时$p=m + n=1+(-6)=-5$；
$m=-1$，$n=6$，此时$p=m + n=-1 + 6=5$；
$m=2$，$n=-3$，此时$p=m + n=2+(-3)=-1$；
$m=-2$，$n=3$，此时$p=m + n=-2 + 3=1$。
所以符合条件的$p$的值为$\pm1$，$\pm5$，共4个。
4
11. 把下列各式分解因式：
（1）$20a^{m + 1}b^{2m + 4} - 12a^{2m + 1}b^{m + 2}$；
（2）$2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$；
（3）（2024·达州）$3x^2 - 18x + 27$；
（4）（2024·绥化）$2mx^2 - 8my^2$；
（5）$(m - n)(5m + 2n) + (m + 6n)(n - m)$；
（6）$-yz^2 + x^4yz^2$.
答案：$11. (1) 4a^{m + 1}b^{m + 2}(5b^{m + 2} - 3a^{m}) (2) 2(x - \frac{1}{2})^{2}$
$(3) 3(x - 3)^{2} (4) 2m(x + 2y)(x - 2y) (5) 4(m - n)^{2}$
$(6) -yz^{2}(1 + x^{2})(1 + x)(1 - x)$
