19. 如图，在梯形 ABCD 中，$ AD // BC $，E 是 BC 的中点，$ AD = 5 $，$ BC = 12 $，$ CD = 4\sqrt{2} $，$ ∠C = 45^{\circ} $，P 是边 BC 上的一个动点，设 PB 的长为 x。
(1)(分类讨论思想)当 x 的值为
1或11
时，以 P，A，D，E 为顶点的四边形是平行四边形。
(2)在点 P 运动的过程中，以 P，A，D，E 为顶点的四边形能否构成菱形？请说明理由。
答案：19.(1)1或11
(2)能. 理由:由(1)知，当PB = 11时，以P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形.
∴ EP = AD = 5.
∵ E是BC的中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$BC = 6，
∴ PC = 1.过点D作DF⊥BC于点F.在Rt△CDF中，∠DFC = 90°，∠C = 45°，
∴ ∠C = ∠CDF = 45°，
∴ CF = DF.
∵ CD = 4$\sqrt{2}$，
∴ 由勾股定理，易得DF = FC = 4，
∴ FP = FC - PC = 4 - 1 = 3，
∴ 在Rt△PDF中，DP = $\sqrt{FP^2 + DF^2}$ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = 5，
∴ AD = DP，
∴ 此时四边形PDAE是菱形，即以P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形.
20. 如图①，在正方形 ABCD 内作 $ ∠EAF = 45^{\circ} $，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，过点 A 作 $ AH ⊥ EF $，垂足为 H。
（1）如图②，将$ △ADF $绕点 A 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $得到$ △ABG $，求证：$ △AGE ≌ △AFE $。
（2）如图③，连接 BD，交 AE 于点 M，交 AF 于点 N。请探究并猜想线段 BM，MN，ND 之间有什么数量关系，并说明理由。
答案：20.(1)
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC = ∠BAD = ∠ADC = 90°.由旋转的性质知，AG = AF，∠DAF = ∠BAG，∠ABG = ∠ADF = 90°.
∴ ∠ABC + ∠ABG = 180°，
∴ G，B，E三点共线.
∵ ∠EAF = 45°，
∴ ∠BAE + ∠DAF = 45°，
∴ ∠BAE + ∠BAG = 45°，即∠EAG = 45°，
∴ ∠EAG = ∠EAF.又
∵ AE = AE，
∴ △AGE ≌ △AFE.
(2)MN² = ND² + BM². 理由:如图，将△ABM绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADM'，连接NM'.
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ 易证∠ABD = ∠ADB = 45°，∠BAM + ∠EAD = 90°.由旋转的性质知，AM = AM'，∠ABM = ∠ADM' = 45°，∠BAM = ∠DAM'，BM = DM'，
∴ ∠NDM' = 90°，∠DAM' + ∠EAD = 90°，即∠EAM' = 90°，
∴ 在Rt△NDM'中，M'N² = ND² + DM'².
∵ ∠EAM' = 90°，∠EAF = 45°，
∴ ∠MAN = ∠M'AN = 45°.又
∵ AN = AN，
∴ △AMN ≌ △AM'N，
∴ MN = M'N.又
∵ BM = DM'，
∴ MN² = ND² + BM².
