16. （2025·长沙）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，且 $ BE = DF $，连接 AF，EC。
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形。
（2）连接 EF。若 $ BC = 12 $，$ BE = 5 $，求 EF 的长。
答案：16.(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = CD，AB//CD，即AE//CF.
∵ BE = DF，
∴ AB - BE = CD - DF，即AE = CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形.
(2)如图，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHC = ∠EHF = 90°.
∵ 四边形ABCD是正方形，BC = 12，
∴ BC = CD = 12，∠B = ∠BCD = 90°，
∴ 四边形EBCH是矩形，
∴ EH = BC = 12，CH = BE = 5，
∴ DH = CD - CH = 12 - 5 = 7.
∵ BE = DF = 5，
∴ HF = DH - DF = 7 - 5 = 2，
∴ 在Rt△EHF中，EF = $\sqrt{EH^2 + HF^2}$ = $\sqrt{12^2 + 2^2}$ = 2$\sqrt{37}$.
17. 如图，$ △ABC $是锐角三角形，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 和等边三角形 CAN，D，E，F 分别是 MB，BC，CN 的中点，连接 DE，FE，求证：$ DE = EF $。
答案：17.如图，连接MC，BN.
∵ △ABM和△CAN是等边三角形，
∴ ∠BAM = ∠CAN = 60°，AM = AB，AC = AN，
∴ ∠BAM + ∠BAC = ∠CAN + ∠BAC，即∠MAC = ∠BAN.在△MAC和△BAN中，$\begin{cases} AM = AB \\ ∠MAC = ∠BAN \\ AC = AN \end{cases}$，
∴ △MAC ≌ △BAN(SAS)，
∴ MC = BN.
∵ D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$MC，EF = $\frac{1}{2}$BN，
∴ DE = EF.
18. (新考法·条件开放题)(2025·青岛)如图，在▱ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 ED 延长线上一点，连接 AF，BF，过点 B 作 $ BG // AF $，交 FE 的延长线于点 G，连接 AG。
(1)求证：$ △AEF ≌ △BEG $。
(2)已知
(从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形 AGBF 的形状，并证明你的结论。
条件①：$ EF = \frac{1}{2}CD $；
条件②：$ EF ⊥ CD $。
答案：18.(1)
∵ BG//AF，
∴ ∠AFE = ∠BGE，∠FAE = ∠GBE.
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE.在△AEF和△BEG中，$\begin{cases} ∠AFE = ∠BGE \\ ∠FAE = ∠GBE \\ AE = BE \end{cases}$，
∴ △AEF ≌ △BEG(AAS).
(2)若选择条件①，则四边形AGBF是矩形. 由(1)知，△AEF ≌ △BEG，
∴ AF = BG，EF = EG，
∴ EF = $\frac{1}{2}$FG.
∵ AF//BG，
∴ 四边形AGBF是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD.
∵ EF = $\frac{1}{2}$CD，
∴ EF = $\frac{1}{2}$AB，
∴ FG = AB，
∴ 四边形AGBF是矩形.
若选择条件②，则四边形AGBF是菱形. 由(1)知，△AEF ≌ △BEG，
∴ AF = BG.
∵ AF//BG，
∴ 四边形AGBF是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD.
∵ EF⊥CD，
∴ FG⊥AB，
∴ 四边形AGBF是菱形.
