7. 已知$\sqrt{a - 2}$与$\vert b - 2a\vert$的值互为相反数，则$a + 2b$的值为(
D
)
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案：7. D
解析：
因为$\sqrt{a - 2}$与$\vert b - 2a\vert$互为相反数，所以$\sqrt{a - 2} + \vert b - 2a\vert = 0$。
由于$\sqrt{a - 2} \geq 0$，$\vert b - 2a\vert \geq 0$，要使它们的和为$0$，则$\sqrt{a - 2} = 0$且$\vert b - 2a\vert = 0$。
由$\sqrt{a - 2} = 0$，得$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
由$\vert b - 2a\vert = 0$，得$b - 2a = 0$，将$a = 2$代入，得$b - 2×2 = 0$，解得$b = 4$。
所以$a + 2b = 2 + 2×4 = 10$。
D
8. 当$a =$
$-\frac{1}{2}$
时，代数式$\sqrt{2a + 1}-200$的值最小，这个最小值为
$-200$
.
答案：8. $-\frac{1}{2}$
解析：
$-\dfrac{1}{2}$; $-200$
9. 已知$a$，$b$满足等式$a^{2}+6a + 9+\sqrt{b - \frac{1}{3}}=0$，则$a^{2025}b^{2026}$的值为
$-\frac{1}{3}$
.
答案：9. $-\frac{1}{3}$
解析：
因为$a^{2}+6a + 9+\sqrt{b - \frac{1}{3}}=0$，可变形为$(a + 3)^{2}+\sqrt{b - \frac{1}{3}}=0$。
由于$(a + 3)^{2}\geq0$，$\sqrt{b - \frac{1}{3}}\geq0$，要使它们的和为$0$，则$(a + 3)^{2}=0$且$\sqrt{b - \frac{1}{3}}=0$。
解得$a=-3$，$b = \frac{1}{3}$。
$a^{2025}b^{2026}=a^{2025}b^{2025}· b=(ab)^{2025}· b$，将$a=-3$，$b = \frac{1}{3}$代入，得$(-3×\frac{1}{3})^{2025}×\frac{1}{3}=(-1)^{2025}×\frac{1}{3}=-1×\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$。
$-\frac{1}{3}$
10. 已知$a$，$b$，$c$都是实数，且满足$(2 - a)^{2}+\sqrt{a^{2}+b + c}+\vert c + 8\vert=0$.若$ax^{2}+bx + c = 0$，求代数式$3x^{2}+6x + 108$的值.
答案：10. 由题意，得$\begin{cases}2 - a = 0, \\a^{2} + b + c = 0, \\c + 8 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2, \\b = 4, \\c = -8.\end{cases}$ $\therefore 2x^{2} + 4x - 8 = 0$，$\therefore x^{2} + 2x = 4$，$\therefore 3x^{2} + 6x + 108 = 3(x^{2} + 2x) + 108 = 3 × 4 + 108 = 120$
11. （分类讨论思想）已知实数$a$，$b$，$c$满足$\vert a - \sqrt{2}\vert+\sqrt{b - 2}+\sqrt{9 - 3c}=\sqrt{c - 3}$.
（1）求$a$，$b$，$c$的值；
（2）若满足上式的$a$，$c$是某等腰三角形的两边长，求该等腰三角形的周长.
答案：11. (1) 由题意，得$\begin{cases}9 - 3c \geq 0, \\c - 3 \geq 0,\end{cases}$ 解得$c = 3.\therefore |a - \sqrt{2}| + \sqrt{b - 2} = 0$，$\therefore a = \sqrt{2}$，$b = 2$ (2) 当$a$是腰长，$c$是底边长时，该等腰三角形的腰长之和为$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} ＜ 3$，不能构成三角形，舍去；当$c$是腰长，$a$是底边长时，$3 - \sqrt{2} ＜ 3 ＜ 3 + \sqrt{2}$，能构成三角形，该等腰三角形的周长为$\sqrt{2} + 3 + 3 = \sqrt{2} + 6$.综上所述，该等腰三角形的周长为$\sqrt{2} + 6$
12. 已知实数$x$，$y$，$z$满足$\sqrt{18 - x - z}+\sqrt{-18 + x + z}=\sqrt{y - x - 7}+\sqrt{2x + y + z - 35}$，求长度分别为$x$，$y$，$z$的三条线段组成的三角形的面积.
答案：12. 根据题意，得$\begin{cases}18 - x - z \geq 0, \\ -18 + x + z \geq 0,\end{cases}$ $\therefore x + z = 18$，$\therefore 0 = \sqrt{y - x - 7} + \sqrt{2x + y + z - 35}$，$\therefore y - x - 7 = 0$，$2x + y + z - 35 = 0$.联立$\begin{cases}x + z = 18, \\y - x - 7 = 0, \\2x + y + z - 35 = 0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 5, \\y = 12, \\z = 13.\end{cases}$
即长度分别为$x$，$y$，$z$的三条线段组成的三角形是直角三角形，且两条直角边的长分别是$5$，$12$，$\therefore$三角形的面积是$\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$
