1. (2025·西藏)若代数式$\sqrt{2 - x}$有意义，则实数$x$的取值范围是(
D
)
A.$x ＞ 2$
B.$x \geqslant 2$
C.$x ＜ 2$
D.$x \leqslant 2$
答案：1. D
解析：
要使代数式$\sqrt{2 - x}$有意义，被开方数必须是非负数，即$2 - x \geq 0$，解得$x \leq 2$。
D
2. 使代数式$\frac{1}{\sqrt{x + 3}}+\sqrt{4 - 3x}$有意义的整数$x$有(
B
)
A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个
答案：2. B
解析：
要使代数式$\frac{1}{\sqrt{x + 3}}+\sqrt{4 - 3x}$有意义，需满足：
1. 分母$\sqrt{x+3}\neq0$且被开方数$x+3＞0$，即$x+3＞0$，解得$x＞-3$；
2. 被开方数$4 - 3x\geq0$，即$4-3x\geq0$，解得$x\leq\frac{4}{3}$。
综上，$x$的取值范围为$-3 ＜ x\leq\frac{4}{3}$。
其中整数$x$为$-2,-1,0,1$，共4个。
B
3. (2024·烟台)若代数式$\frac{3}{\sqrt{x - 1}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是
$x＞1$
.
答案：3. $x＞1$
解析：
要使代数式$\frac{3}{\sqrt{x - 1}}$在实数范围内有意义，需满足分母不为零且被开方数为非负数，即：
$\begin{cases}x - 1 \geq 0 \\\sqrt{x - 1} \neq 0\end{cases}$
解得$x - 1 ＞ 0$，所以$x ＞ 1$。
$x＞1$
4. 若$y·\sqrt{2x - 2}+\sqrt{1 - x}=y + 2$，求$\sqrt{y^{2}+5x}$的值.
答案：4. 由题意，得$\begin{cases}2x - 2 \geq 0, \\1 - x \geq 0,\end{cases}$ 解得$x = 1.\therefore 0 = y + 2$，解得$y = -2$，
$\therefore \sqrt{y^{2} + 5x} = \sqrt{(-2)^{2} + 5 × 1} = 3$
5. 若$x$，$y$，$z$是互不相等的实数，且满足$\sqrt{x^{3}(y - x)^{3}}+\sqrt{x^{3}(z - x)^{3}}=\sqrt{y - x}-\sqrt{x - z}$，求$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$的值.
答案：5. 由题意，得$\begin{cases}y - x ＞ 0, \\x - z ＞ 0, \\ \sqrt{x^{3}(y - x)^{3}} + x^{3}(y - x)^{3} \geq 0, \\x^{3}(z - x)^{3} \geq 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 0, \\y ＞ 0, \\z ＜ 0.\end{cases}$
$\sqrt{x^{3}(z - x)^{3}} = \sqrt{y - x} - \sqrt{x - z}$，$\therefore \sqrt{y} - \sqrt{-z} = 0$，
$\therefore y = -z$.把$x = 0$，$y = -z$代入$x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$，得原式$= (-z)^{3} + z^{3} = 0$
6. 已知$\sqrt[b - a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$是可以合并的最简二次根式.求：
（1）$a$，$b$的值；
（2）$\sqrt{b^{3}+a^{202}}$的值.
答案：6. (1)$\because \sqrt[b - a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$是可以合并的最简二次根式，
$\therefore \begin{cases}b - a = 2, \\3b = 2b - a + 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 0, \\b = 2\end{cases}$
(2) 当$a = 0$，$b = 2$时，
$\sqrt{b^{3} + a^{202}} = \sqrt{2^{3}} = 2\sqrt{2}$
