1. 下列根式中，化简后不能与$\sqrt{3}$合并的是(
C
)
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{27}$
答案：1.C
解析：
A.$\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，能合并；
B.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，能合并；
C.$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并；
D.$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，能合并；
答案：C
2. (2025·广州)下列运算正确的是(
D
)
A.$a^{3}· a^{5}=a^{15}$
B.$(-2ab)^{3}=8a^{3}b^{3}$
C.$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a - b}(a\geqslant b\geqslant 0)$
D.$2\sqrt{a}+5\sqrt{a}=7\sqrt{a}(a\geqslant 0)$
答案：2.D
3. 有下列二次根式：①$\sqrt{5}$；②$\sqrt{45}$；③$\sqrt{9}$；④$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$；⑤$\sqrt{18}$.其中，是同类二次根式的为
①②
(填序号).
答案：3.①②
4. 若最简二次根式$2\sqrt{3a - 1}$与$\sqrt{a + 3}$是同类二次根式，则$a$的值为
2
.
答案：4.2
解析：
因为最简二次根式$2\sqrt{3a - 1}$与$\sqrt{a + 3}$是同类二次根式，所以被开方数相等，即$3a - 1 = a + 3$，解得$a = 2$。
5. （教材变式）计算：
（1）$\sqrt{63}-7\sqrt{\dfrac{1}{7}}$；
（2）$\dfrac{1}{2}\sqrt{24x}-\sqrt{54x}(x\geqslant 0)$；
（3）$\sqrt{\dfrac{9}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}$；
（4）$\sqrt{60}-\sqrt{\dfrac{5}{4}}+3\sqrt{125}-\sqrt{45}$.
答案：5.(1)$2\sqrt{7}$ (2)$-2\sqrt{6x}$ (3)$4\sqrt{2}$ (4)$2\sqrt{15}+\frac{23\sqrt{5}}{2}$
解析：
解：$\frac{1}{2}\sqrt{24x}-\sqrt{54x}$
$=\frac{1}{2}×2\sqrt{6x}-3\sqrt{6x}$
$=\sqrt{6x}-3\sqrt{6x}$
$=-2\sqrt{6x}$
6. (2024·重庆 A 卷)已知$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}$，则实数$m$的取值范围是(
B
)
A.$2\lt m\lt 3$
B.$3\lt m\lt 4$
C.$4\lt m\lt 5$
D.$5\lt m\lt 6$
答案：6.B
解析：
$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$\because \sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，
$\therefore 3＜2\sqrt{3}＜4$，即$3＜m＜4$。
B
7. 若$\sqrt{18x}+2\sqrt{\dfrac{x}{2}}+x\sqrt{\dfrac{2}{x}}=10$，则$x$的值为(
C
)
A.$4$
B.$\pm 2$
C.$2$
D.$\pm 4$
答案：7.C
解析：
$\sqrt{18x} + 2\sqrt{\dfrac{x}{2}} + x\sqrt{\dfrac{2}{x}}$
$= 3\sqrt{2x} + 2×\dfrac{\sqrt{2x}}{2} + x×\dfrac{\sqrt{2x}}{x}$
$= 3\sqrt{2x} + \sqrt{2x} + \sqrt{2x}$
$= 5\sqrt{2x}$
由$5\sqrt{2x} = 10$，得$\sqrt{2x} = 2$，两边平方得$2x = 4$，解得$x = 2$。
经检验，$x = 2$使原式有意义，故$x = 2$。
C
8. (分类讨论思想)如果等腰三角形的一边长为$2\sqrt{3}$，周长为$4\sqrt{3}+7$，那么这个等腰三角形的腰长为(
A
)
A.$\dfrac{7}{2}+\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$7$
D.$\dfrac{7}{2}+\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$
答案：8.A 解析：当$2\sqrt{3}$为等腰三角形的腰长时，底边长为$4\sqrt{3}+7 - 2\sqrt{3}×2 = 7$，注意到$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}＜7$，即不能构成三角形；当$2\sqrt{3}$为等腰三角形的底边长时，腰长为$\frac{1}{2}×(4\sqrt{3}+7 - 2\sqrt{3})=\frac{7}{2}+\sqrt{3}$，此时满足三角形的三边关系.因此这个等腰三角形的腰长为$\frac{7}{2}+\sqrt{3}$.
