1. (2025·绥化改编)下列计算正确的是 (
A
)
A.$\sqrt{5^2}=5$
B.$\sqrt{(-5)^2}=-5$
C.$\sqrt{5^2}=\pm5$
D.$\sqrt{(-5)^2}=\pm5$
答案：1.A
2. 已知$m$为任意实数,下列各式中,一定成立的是 (
D
)
A.$(\sqrt{m})^2=m$
B.$\sqrt{m^2+2m+1}=m+1$
C.$\sqrt{m^2}=m$
D.$(\sqrt{m^2+1})^2=m^2+1$
答案：2.D
解析：
A. 当$m ＜ 0$时，$\sqrt{m}$无意义，故$(\sqrt{m})^2 = m$不一定成立。
B. $\sqrt{m^2 + 2m + 1} = \sqrt{(m + 1)^2} = |m + 1|$，当$m + 1 ＜ 0$，即$m ＜ -1$时，$|m + 1| = -m - 1 \neq m + 1$，故不一定成立。
C. $\sqrt{m^2} = |m|$，当$m ＜ 0$时，$|m| = -m \neq m$，故不一定成立。
D. 因为$m^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，所以$\sqrt{m^2 + 1}$有意义，$(\sqrt{m^2 + 1})^2 = m^2 + 1$一定成立。
D
3. 若整数$x$满足$|x|\leqslant3$,则使$\sqrt{7-x}$为整数的$x$的值是
3或-2
.
答案：3.3或-2
解析：
因为整数$x$满足$|x| \leqslant 3$，所以$x$的取值为$-3,-2,-1,0,1,2,3$。
要使$\sqrt{7 - x}$为整数，设$\sqrt{7 - x} = k$（$k$为整数），则$7 - x = k^2$，即$x = 7 - k^2$。
当$k = 2$时，$x = 7 - 2^2 = 7 - 4 = 3$；
当$k = 3$时，$x = 7 - 3^2 = 7 - 9 = -2$；
当$k = 1$时，$x = 7 - 1^2 = 6$（不满足$|x| \leqslant 3$，舍去）；
当$k = 0$时，$x = 7 - 0 = 7$（不满足$|x| \leqslant 3$，舍去）；
当$k \geqslant 4$或$k \leqslant -1$时，$x$的值均不满足$|x| \leqslant 3$。
综上，$x$的值是$3$或$-2$。
4. 如果$\sqrt{(2a-1)^2}=1-2a$,那么$a$的取值范围是
$a\leq\frac{1}{2}$
.
答案：4.$a\leq\frac{1}{2}$
解析：
$\because \sqrt{(2a-1)^2}=|2a - 1|$，又$\sqrt{(2a-1)^2}=1 - 2a$，
$\therefore |2a - 1|=1 - 2a$，
$\therefore 2a - 1\leqslant 0$，
$\therefore 2a\leqslant 1$，
$\therefore a\leqslant \frac{1}{2}$。
$a\leqslant \frac{1}{2}$
5. 如图,数轴上点$A$表示的数为$a$,化简:$a+\sqrt{a^2-4a+4}=$
2
.
答案：5.2
解析：
解：由数轴可知，$0 ＜ a ＜ 2$。
$\begin{aligned}a+\sqrt{a^2 - 4a + 4}&=a+\sqrt{(a - 2)^2}\\&=a + |a - 2|\end{aligned}$
因为$0 ＜ a ＜ 2$，所以$a - 2 ＜ 0$，则$|a - 2| = 2 - a$。
$\begin{aligned}a + |a - 2|&=a + (2 - a)\\&=2\end{aligned}$
2
6. (教材变式)计算:
(1)$\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}$;
(2)$\sqrt{(3-\sqrt{13})^2}$;
(3)$-\sqrt{4x^2+4x+1}(x\geqslant-\dfrac{1}{2})$.
答案：6.(1)$\frac{2}{3}$ (2)$\sqrt{13}-3$ (3)$-2x-1$
解析：
(1)$\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$
(2)$\sqrt{(3-\sqrt{13})^2}=\left|3-\sqrt{13}\right|=\sqrt{13}-3$
(3)$-\sqrt{4x^2+4x+1}=-\sqrt{(2x+1)^2}=-\left|2x+1\right|$，因为$x\geqslant-\dfrac{1}{2}$，所以$2x+1\geqslant0$，则$-\left|2x+1\right|=-(2x+1)=-2x-1$
7. 若$1＜x＜2$,则化简$|x-3|+\sqrt{(x-1)^2}$的结果是 (
D
)
A.$2x-4$
B.$-2$
C.$4-2x$
D.$2$
答案：7.D
解析：
∵$1 ＜ x ＜ 2$，
∴$x - 3 ＜ 0$，$x - 1 ＞ 0$，
$|x - 3| = 3 - x$，
$\sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1| = x - 1$，
$|x - 3|+\sqrt{(x - 1)^2} = (3 - x) + (x - 1) = 3 - x + x - 1 = 2$。
D
8. (2024·兴安盟)实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简$\sqrt{(a-b)^2}-(b-a-2)$的结果是 (
A
)
A.$2$
B.$2a-2$
C.$2-2b$
D.$-2$
答案：8.A
解析：
解：由数轴可知，$a ＜ -2$，$0 ＜ b ＜ 1$，则$a - b ＜ 0$。
$\sqrt{(a - b)^2} - (b - a - 2)$
$= |a - b| - b + a + 2$
$= (b - a) - b + a + 2$
$= 2$
答案：A
9. 已知化简$\sqrt{(3-a)^2}+\sqrt{(a-5)^2}$的结果为$2$,则实数$a$应满足的条件为 (
B
)
A.$a\geqslant5$
B.$3\leqslant a\leqslant5$
C.$a\leqslant3$
D.$a=3$或$a=5$
答案：9.B
解析：
$\sqrt{(3-a)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=|3-a|+|a-5|$
当$a＜3$时，$|3-a|+|a-5|=3-a+5-a=8-2a$，若$8-2a=2$，则$a=3$，不满足$a＜3$。
当$3\leqslant a\leqslant5$时，$|3-a|+|a-5|=a-3+5-a=2$，符合结果。
当$a＞5$时，$|3-a|+|a-5|=a-3+a-5=2a-8$，若$2a-8=2$，则$a=5$，不满足$a＞5$。
综上，$3\leqslant a\leqslant5$，答案选B。
10. 计算:$\sqrt{(3-\pi)^2}+\pi=$
$2\pi-3$
.
答案：10.$2\pi-3$
解析：
$\sqrt{(3-\pi)^2}+\pi=|\pi-3|+\pi=\pi-3+\pi=2\pi-3$
11. 若$\sqrt{x^2-4x+4}+x=2$,则$x$的取值范围是
$x\leq2$
.
答案：11.$x\leq2$
解析：
解：$\sqrt{x^2 - 4x + 4} + x = 2$
$\sqrt{(x - 2)^2} + x = 2$
$|x - 2| + x = 2$
当$x \geq 2$时，$x - 2 + x = 2$，$2x = 4$，$x = 2$
当$x ＜ 2$时，$2 - x + x = 2$，$2 = 2$恒成立
综上，$x \leq 2$
$x \leq 2$
