15. (2025·山西)我国自主研发的$HGCZ - 2000$型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工每小时更换钢轨的千米数的$2$倍，它更换$116$千米钢轨比一个工作队人工更换$80$千米钢轨所用的时间少$22$小时.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？
答案：15.设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨$x$千米.根据题
意，得$\frac{116}{x}=\frac{80}{\frac{1}{2}x}-22$，解得$x=2$.经检验，$x=2$是所列方程的
解，且符合题意.$\therefore$一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨
2千米
16. (教材变式)已知$b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$，则分式$\frac{a}{b}$与$\frac{a + m}{b + m}$的大小关系是(
A
)
A.$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$
B.$\frac{a}{b} = \frac{a + m}{b + m}$
C.$\frac{a}{b} ＞ \frac{a + m}{b + m}$
D.无法确定
答案：16.A 解析：$\frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}=\frac{a(b+m)-b(a+m)}{b(b+m)}=\frac{(a-b)m}{b(b+m)}$.
$\because b＞a＞0,m＞0,\therefore (a-b)m＜0,b(b+m)＞0$.
$\therefore\frac{(a-b)m}{b(b+m)}＜0.\therefore\frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}＜0.\therefore\frac{a}{b}＜\frac{a+m}{b+m}$.
17. (2025·眉山)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{3x - 1}{2} \leq x + 2, \\ x + 1 \geq -x + a\end{cases}$至少有两个正整数解，且关于$x$的分式方程$\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$的解为正整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为( )
A.$8$
B.$14$
C.$18$
D.$38$
答案：17.B
解析：
解不等式组：
1. 解$\frac{3x - 1}{2} \leq x + 2$，得$x \leq 5$
2. 解$x + 1 \geq -x + a$，得$x \geq \frac{a - 1}{2}$
不等式组解集为$\frac{a - 1}{2} \leq x \leq 5$，至少有两个正整数解$5,4$，则$\frac{a - 1}{2} ＜ 4$，解得$a ＜ 9$
解分式方程$\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$：
去分母得$a - 1 = 2(x - 1) + 3$，解得$x = \frac{a - 2}{2}$
解为正整数且$x \neq 1$，则$\frac{a - 2}{2} \geq 1$且$\frac{a - 2}{2} \neq 1$，即$a \geq 4$且$a \neq 4$，故$a ＞ 4$
$\frac{a - 2}{2}$为正整数，$a = 2k + 2$（$k$为正整数），结合$4 ＜ a ＜ 9$，得$a = 6,8$
满足条件的整数$a$为$6,8$，和为$6 + 8 = 14$
14
18. 根据表中的数据，$a$的值为
$\frac{5}{2}$
，$b$的值为
$-2$
.
答案：18.$\frac{5}{2}-2$
解析：
解：当$x = 2$时，对于代数式$3x + 1$，$3×2 + 1 = 7$，符合题意。
对于代数式$\frac{2x + 1}{x}$，当$x = 2$时，$a=\frac{2×2 + 1}{2}=\frac{5}{2}$。
当结果为$1$时，对于代数式$\frac{2x + 1}{x}$，$\frac{2n + 1}{n}=1$，解得$n=-1$。
对于代数式$3x + 1$，当$x = n=-1$时，$b=3×(-1)+1=-2$。
$a=\frac{5}{2}$，$b=-2$
19. 若$3ab - 3b^{2} - 2 = 0$，则代数式$(1 - \frac{2ab - b^{2}}{a^{2}}) ÷ \frac{a - b}{a^{2}b}$的值为
$\frac{2}{3}$
.
答案：19.$\frac{2}{3}$ 解析：原式$=ab-b^{2}.\because3ab-3b^{2}-2=0,\therefore3ab-3b^{2}=2\therefore ab-b^{2}=\frac{2}{3}\therefore$原式$=\frac{2}{3}$。
解析：
原式$=(1 - \frac{2ab - b^{2}}{a^{2}}) ÷ \frac{a - b}{a^{2}b}$
$=(\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2}}) × \frac{a^{2}b}{a - b}$
$=\frac{(a - b)^{2}}{a^{2}} × \frac{a^{2}b}{a - b}$
$=b(a - b)$
$=ab - b^{2}$
$\because 3ab - 3b^{2} - 2 = 0$
$\therefore 3(ab - b^{2}) = 2$
$\therefore ab - b^{2} = \frac{2}{3}$
故原式的值为$\frac{2}{3}$。
20. (整体思想)已知$m + n = 3$，$mn = 1$，则$\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$的值为
$7$
.
答案：20.7 解析：$\because m+n=3,mn=1,\therefore\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^{2}}{mn}+\frac{n^{2}}{mn}=$
$\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{3^{2}-2×1}{1}=7$。
21. 若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 1} + 1 = \frac{m}{1 - x}$的解为非负数，则$m$的取值范围是
$m\leqslant1且m\neq-1$
.
答案：21.$m\leqslant1且m\neq-1$
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$，得$x + (x - 1) = -m$，解得$x = \frac{1 - m}{2}$。
因为分式方程的解为非负数，所以$\frac{1 - m}{2} \geq 0$，解得$m \leq 1$。
又因为分母不能为$0$，即$x - 1 \neq 0$，所以$\frac{1 - m}{2} - 1 \neq 0$，解得$m \neq -1$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 1$且$m \neq -1$。
22. 若关于$x$的方程$\frac{1}{x - 4} + \frac{m}{x + 4} = \frac{m + 3}{x^{2} - 16}$无解，则$m$的值为
$-1$或5或$-\frac{1}{3}$
.
答案：22.$-1$或5或$-\frac{1}{3}$
解析：
解：方程两边同乘$(x - 4)(x + 4)$，得$x + 4 + m(x - 4) = m + 3$，整理得$(m + 1)x = 5m - 1$。
当$m + 1 = 0$，即$m = -1$时，方程无解。
当$m + 1 \neq 0$时，$x = \frac{5m - 1}{m + 1}$。
若$x = 4$，则$\frac{5m - 1}{m + 1} = 4$，解得$m = 5$；
若$x = -4$，则$\frac{5m - 1}{m + 1} = -4$，解得$m = -\frac{1}{3}$。
综上，$m$的值为$-1$或$5$或$-\frac{1}{3}$。
