1. 已知分式$\frac{2x + b}{x - a}$($a$，$b$为常数)与$x$的部分对应值如下表：
则下列结论中，错误的是(
B
)
A.$b = -4$
B.$a = 2$
C.$m = -10$
D.$n = -6$
答案：1.B
解析：
解：由分式$\frac{2x + b}{x - a}$无意义时$x=-2$，得$x - a=0$，即$-2 - a=0$，解得$a=-2$。
当$x=2$时，分式值为$0$，则分子$2x + b=0$，即$2×2 + b=0$，解得$b=-4$。
当分式值为$3$时，$\frac{2m - 4}{m - (-2)}=3$，即$\frac{2m - 4}{m + 2}=3$，$2m - 4=3(m + 2)$，$2m - 4=3m + 6$，解得$m=-10$。
当分式值为$4$时，$\frac{2n - 4}{n + 2}=4$，$2n - 4=4(n + 2)$，$2n - 4=4n + 8$，解得$n=-6$。
综上，$a=-2$，$b=-4$，$m=-10$，$n=-6$，错误的是B。
答案：B
2. (2025·广西)写出一个使分式$\frac{1}{x + 3}$有意义的$x$的值：
答案不唯一，如1
.
答案：2. 答案不唯一，如1
3. 对于分式$\frac{4x^{2} - 25}{(2x + 5)(x - 4)}$，当$x=$
$-\frac{5}{2}$或$4$
时，分式无意义；当$x=$
$\frac{5}{2}$
时，分式的值为 0.
答案：3. $-\frac{5}{2}$或$4\frac{5}{2}$
4. 下列运算正确的是(
D
)
A.$\frac{3b}{4a} · \frac{2a}{9b^{2}} = \frac{b}{6}$
B.$\frac{1}{3ab} ÷ \frac{2b^{2}}{3a} = \frac{b^{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{3a}$
D.$\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} = \frac{2}{a^{2} - 1}$
答案：4.D
5. 化简$\frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{b}{a - b}$的结果是(
A
)
A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{b}{a - b}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{b}{a + b}$
答案：5.A
解析：
$\begin{aligned}&\frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{b}{a - b}\\=&\frac{(a + b)^2}{(a + b)(a - b)} - \frac{b}{a - b}\\=&\frac{a + b}{a - b} - \frac{b}{a - b}\\=&\frac{a + b - b}{a - b}\\=&\frac{a}{a - b}\end{aligned}$
A
6. 已知$t^{2} - 3t + 1 = 0$，则$t^{2} + \frac{1}{t^{2}}$的值为(
B
)
A.$3$
B.$7$
C.$9$
D.$11$
答案：6.B
解析：
由$t^{2} - 3t + 1 = 0$，两边同除以$t$（$t\neq0$）得$t - 3 + \frac{1}{t} = 0$，即$t + \frac{1}{t} = 3$。
两边平方得$(t + \frac{1}{t})^{2} = 3^{2}$，即$t^{2} + 2 · t · \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} = 9$，化简得$t^{2} + 2 + \frac{1}{t^{2}} = 9$，所以$t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = 7$。
B
7. 若$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 2$，则分式$\frac{5m + 5n - 2mn}{-m - n}$的值为
$-4$
.
答案：7.$-4$ 解析：将$\frac{5m+5n-2mn}{-m-n}$的分子、分母同时除以$mn$，得
$\frac{5m+5n-2mn}{-m-n}=\frac{\frac{5(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})-2}{-(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})}}=\frac{5×2-2}{-2}=-4$。
8. (教材变式)若$\frac{2}{x + 3} + \frac{2}{3 - x} + \frac{2x + 18}{x^{2} - 9}$的值为整数，且$x$为整数，则所有符合条件的$x$的值为
1,2,4,5
.
答案：8.1,2,4,5 解析：原式$=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}=$
$\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}·\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^{2}-9}$的值为整数，
且$x$为整数，$\therefore$当$x=1$时，原式$=\frac{2}{1-3}=-1$；当$x=2$时，原
式$=\frac{2}{2-3}=-2$；当$x=4$时，原式$=\frac{2}{4-3}=2$；当$x=5$时，原
式$=\frac{2}{5-3}=1$.综上所述，所有符合条件的$x$的值为1,2,4,5。
9. 计算：
(1) $\frac{2x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{4x}{x^{2} - 4}$；
(2) (2024·新疆)$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 2ab + b^{2}} ÷ \frac{a - b}{a + b}$；
(3) (2025·泸州)$\frac{x^{2} - 1}{x} ÷ (\frac{x^{2} + 3x + 1}{x} - 1)$；
(4) $(\frac{1}{a - b} - \frac{b}{a^{2} - b^{2}}) ÷ \frac{a^{2} - ab}{a^{2} - 2ab + b^{2}}$.
答案：9.(1)$\frac{x}{x+2}$ (2)1 (3)$\frac{x-1}{x+1}$ (4)$\frac{1}{a+b}$
解析：
(1) $\frac{2x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{4x}{x^{2} - 4}$
$=\frac{2x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{2x^2 - 4x - x^2 - 2x + 4x}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x^2 - 2x}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x}{x + 2}$
(2) $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 2ab + b^{2}} ÷ \frac{a - b}{a + b}$
$=\frac{(a + b)(a - b)}{(a + b)^2} × \frac{a + b}{a - b}$
$=1$
(3) $\frac{x^{2} - 1}{x} ÷ (\frac{x^{2} + 3x + 1}{x} - 1)$
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x} ÷ (\frac{x^{2} + 3x + 1 - x}{x})$
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x} ÷ \frac{x^{2} + 2x + 1}{x}$
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x} × \frac{x}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x - 1}{x + 1}$
(4) $(\frac{1}{a - b} - \frac{b}{a^{2} - b^{2}}) ÷ \frac{a^{2} - ab}{a^{2} - 2ab + b^{2}}$
$=(\frac{a + b}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{(a - b)(a + b)}) ÷ \frac{a(a - b)}{(a - b)^2}$
$=\frac{a + b - b}{(a - b)(a + b)} ÷ \frac{a}{a - b}$
$=\frac{a}{(a - b)(a + b)} × \frac{a - b}{a}$
$=\frac{1}{a + b}$
