6. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x - 5} + \frac{m(x - 4)}{(x - 5)(x - 2)} = \frac{1}{x - 2}$.
（1）若分式方程的增根为 $ x = 5 $，求 $ m $ 的值；
（2）若分式方程有增根，求 $ m $ 的值.
答案：6. 原分式方程两边同乘(x-5)(x-2)，并整理，得$(m+1)x=4m-1.(1)\because x=5$是原分式方程的增根，$\therefore5(m+1)=4m-1，$解得$m=-6 (2)\because $原分式方程有增根，$\therefore(x-5)(x-2)=0，$解得x=5或x=2.当x=5时，由(1)，得m=-6;当x=2时，2(m+1)=4m-1，得$m=\frac{3}{2}.$综上所述，m的值为-6或$\frac{3}{2}$
解析：
（1）原分式方程两边同乘$(x - 5)(x - 2)$，得$2(x - 2) + m(x - 4) = x - 5$，整理得$(m + 1)x = 4m - 1$。
∵分式方程的增根为$x = 5$，
∴将$x = 5$代入$(m + 1)x = 4m - 1$，得$5(m + 1) = 4m - 1$，
解得$m = -6$。
（2）
∵分式方程有增根，
∴$(x - 5)(x - 2) = 0$，解得$x = 5$或$x = 2$。
当$x = 5$时，代入$(m + 1)x = 4m - 1$，得$5(m + 1) = 4m - 1$，解得$m = -6$；
当$x = 2$时，代入$(m + 1)x = 4m - 1$，得$2(m + 1) = 4m - 1$，解得$m = \frac{3}{2}$。
综上所述，$m$的值为$-6$或$\frac{3}{2}$。
7. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 1} = \frac{kx + 2}{(x - 1)(x + 2)}$ 有增根，请求出所有满足条件的 $ k $ 的值.
答案：7. 原方程两边同乘(x-1)(x+2)，并整理，得(k+2)x=-3.
$\because $原方程有增根，$\therefore(x-1)(x+2)=0，$解得x=1或x=-2.
当x=1时，k+2=-3，解得k=-5;当x=-2时，-2(k+2)=-3，解得$k=-\frac{1}{2}.$综上所述，k的值为-5或$-\frac{1}{2}$
8. (2024·达州)若关于 $ x $ 的方程 $\frac{3}{x - 2} - \frac{kx - 1}{x - 2} = 1$ 无解，则 $ k $ 的值为
2或-1
.
答案：8. 2或-1
解析：
方程两边同乘$x - 2$得：$3 - (kx - 1) = x - 2$，
去括号得：$3 - kx + 1 = x - 2$，
移项、合并同类项得：$(-k - 1)x = -6$，即$(k + 1)x = 6$。
当$k + 1 = 0$，即$k = -1$时，方程$(k + 1)x = 6$无解，原分式方程无解；
当$k + 1 \neq 0$时，$x = \frac{6}{k + 1}$，
因为原分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$，
则$\frac{6}{k + 1} = 2$，解得$k = 2$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。
9. 当 $ m $ 为何值时，关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{3}{x - 2} + \frac{m}{x + 2} = \frac{6}{x^2 - 4}$ 无解？
答案：9. 原方程两边同乘(x-2)(x+2)，并整理，得(3+m)x=2m.
若整式方程无解，则$3+m=0.\therefore m=-3.$若分式方程有增根，则$(x-2)(x+2)=0.\therefore x=2$或x=-2.当x=2时，m不存在;当x=-2时，$m=-\frac{3}{2}.$综上所述，当m的值为-3或$-\frac{3}{2}$时，关于x的分式方程$\frac{3}{x-2}+\frac{m}{x+2}=\frac{6}{x^2-4}$无解
10. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x - a}{x - 1} - \frac{3}{x} = 1 + \frac{a}{x^2 - x}$ 无解，求 $ a $ 的值.
答案：10. 原方程两边同乘x(x-1)，并整理，得(a+2)x=3-a.若整式方程无解，则$a+2=0.\therefore a=-2.$若分式方程有增根，则$x(x-1)=0.\therefore x=0$或x=1.当x=0时，a=3;当x=1时，$a=\frac{1}{2}.$综上所述，a的值为-2或3或$\frac{1}{2}$
解析：
解：原方程两边同乘$x(x - 1)$，得$x(x - a) - 3(x - 1) = x(x - 1) + a$，整理得$(a + 2)x = 3 - a$。
若整式方程无解，则$a + 2 = 0$，解得$a = -2$。
若分式方程有增根，则$x(x - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$。
当$x = 0$时，代入$(a + 2)x = 3 - a$，得$0 = 3 - a$，解得$a = 3$。
当$x = 1$时，代入$(a + 2)x = 3 - a$，得$a + 2 = 3 - a$，解得$a = \frac{1}{2}$。
综上所述，$a$的值为$-2$或$3$或$\frac{1}{2}$。
