1. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{2ax + 3}{a - x} = \frac{3}{4}$ 的解为 $ x = 1 $，则 $ a $ 的值为
-3
.
答案：1. -3
解析：
解：将$x = 1$代入方程$\frac{2ax + 3}{a - x} = \frac{3}{4}$，得$\frac{2a×1 + 3}{a - 1} = \frac{3}{4}$。
交叉相乘，得$4(2a + 3) = 3(a - 1)$。
去括号，得$8a + 12 = 3a - 3$。
移项，得$8a - 3a = -3 - 12$。
合并同类项，得$5a = -15$。
系数化为$1$，得$a = -3$。
经检验，$a = -3$时，分母$a - x = -3 - 1 = -4 ≠ 0$，所以$a = -3$是原方程的解。
-3
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{2}{x + 4} = \frac{m}{x}$ 与方程 $\frac{3}{2x} - \frac{1}{x - 1} = 0$ 的解相同，求 $ m^2 - 2m $ 的值.
答案：2. 解$\frac{3}{2x}-\frac{1}{x-1}=0，$得x=3.把x=3代入$\frac{2}{x+4}=\frac{m}{x}，$得$\frac{2}{7}= \frac{m}{3}，$解得$m=\frac{6}{7}.\therefore m^2-2m=(\frac{6}{7})^2-2×\frac{6}{7}=-\frac{48}{49}$
解析：
解$\frac{3}{2x}-\frac{1}{x-1}=0$，
方程两边同乘$2x(x-1)$得：$3(x-1)-2x=0$，
去括号得：$3x - 3 - 2x = 0$，
合并同类项得：$x - 3 = 0$，
解得$x=3$。
把$x=3$代入$\frac{2}{x + 4} = \frac{m}{x}$，得$\frac{2}{3 + 4} = \frac{m}{3}$，即$\frac{2}{7} = \frac{m}{3}$，
解得$m = \frac{6}{7}$。
$\therefore m^2 - 2m = (\frac{6}{7})^2 - 2×\frac{6}{7} = \frac{36}{49} - \frac{12}{7} = \frac{36}{49} - \frac{84}{49} = -\frac{48}{49}$。
3. (2025·龙东地区)已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x + k}{x - 4} - \frac{2k}{4 - x} = 3$ 的解为负数，则 $ k $ 的取值范围是(
A
)
A.$ k ＜ - 4 $
B.$ k ＞ - 4 $
C.$ k \neq - 4 $ 且 $ k \neq - \frac{4}{3} $
D.$ k ＞ - 4 $ 且 $ k \neq - \frac{4}{3} $
答案：3. A 解析：方程两边同乘x-4，得x+k+2k=3(x-4)，解得$x=\frac{3k+12}{2} \because $原分式方程的解为负数，$\therefore x＜0，$即$\frac{3k+12}{2}＜0，$解得k＜-4.
\because x\neq4，即$\frac{3k+12}{2}\neq4，$解得$k\neq-\frac{4}{3}.\therefore k＜-4.$
4. 若数 $ a $ 使关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}\frac{1}{3}x - 1 \leq \frac{1}{2}(x - 1),\\2x - a \leq 3(1 - x)\end{cases}$ 有且仅有三个整数解，且使关于 $ y $ 的分式方程 $\frac{3y}{y - 2} + \frac{a + 12}{2 - y} = 1$ 有整数解，求满足条件的所有 $ a $ 的值之和.
答案：4. 根据题意，解不等式组，得$-3\leq x\leq\frac{3+a}{5} \because $该不等式组有且仅有三个整数解，$\therefore -1\leq\frac{3+a}{5}＜0.\therefore -8\leq a＜-3.$解$\frac{3y}{y-2}+\frac{a+12}{2-y}=1，$得$y=\frac{a+10}{2}.$根据分式的分母不能为0，得$y\neq2，$$\therefore a\neq-6.$由题意，得分式方程有整数解，$\therefore a=-8$或$-4.\therefore $满足条件的所有a的值之和是(-8)+(-4)=-12
解析：
解不等式组$\begin{cases}\frac{1}{3}x - 1 \leq \frac{1}{2}(x - 1) \\2x - a \leq 3(1 - x)\end{cases}$，
解第一个不等式：$\frac{1}{3}x - 1 \leq \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$，
移项得：$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \leq 1 - \frac{1}{2}$，
通分：$\frac{2}{6}x - \frac{3}{6}x \leq \frac{1}{2}$，
$-\frac{1}{6}x \leq \frac{1}{2}$，
两边同乘$-6$（不等号变向）：$x \geq -3$；
解第二个不等式：$2x - a \leq 3 - 3x$，
移项得：$2x + 3x \leq 3 + a$，
$5x \leq 3 + a$，
$x \leq \frac{3 + a}{5}$；
所以不等式组的解集为$-3 \leq x \leq \frac{3 + a}{5}$。
因为不等式组有且仅有三个整数解，即$-3$，$-2$，$-1$，
所以$-1 \leq \frac{3 + a}{5} ＜ 0$，
两边同乘$5$：$-5 \leq 3 + a ＜ 0$，
$-5 - 3 \leq a ＜ 0 - 3$，
$-8 \leq a ＜ -3$。
解分式方程$\frac{3y}{y - 2} + \frac{a + 12}{2 - y} = 1$，
方程变形为$\frac{3y}{y - 2} - \frac{a + 12}{y - 2} = 1$，
两边同乘$y - 2$：$3y - (a + 12) = y - 2$，
$3y - a - 12 = y - 2$，
$3y - y = a + 12 - 2$，
$2y = a + 10$，
$y = \frac{a + 10}{2}$。
因为分式方程有整数解，且$y \neq 2$（分母不为$0$），
所以$\frac{a + 10}{2} \neq 2$，$a + 10 \neq 4$，$a \neq -6$。
又因为$a$为整数且$-8 \leq a ＜ -3$，
当$a = -8$时，$y = \frac{-8 + 10}{2} = 1$（整数解，符合）；
当$a = -7$时，$y = \frac{-7 + 10}{2} = \frac{3}{2}$（非整数，舍去）；
当$a = -6$时，$y = 2$（舍去，分母为$0$）；
当$a = -5$时，$y = \frac{-5 + 10}{2} = \frac{5}{2}$（非整数，舍去）；
当$a = -4$时，$y = \frac{-4 + 10}{2} = 3$（整数解，符合）；
所以满足条件的$a$的值为$-8$，$-4$，其和为$-8 + (-4) = -12$。
$-12$
5. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{mx}{x^2 - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 有增根，则 $ m $ 的值为(
D
)
A.$ 4 $
B.$ 6 $
C.$ - 4 $
D.$ - 4 $ 或 $ 6 $
答案：5. D
解析：
解：方程两边同乘最简公分母 $(x + 2)(x - 2)$，得：
$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$
整理得：$(m - 1)x = -10$
∵分式方程有增根，
∴最简公分母 $(x + 2)(x - 2) = 0$，解得 $x = 2$ 或 $x = -2$
情况1：当 $x = 2$ 时
代入 $(m - 1)x = -10$，得 $2(m - 1) = -10$，解得 $m = -4$
情况2：当 $x = -2$ 时
代入 $(m - 1)x = -10$，得 $-2(m - 1) = -10$，解得 $m = 6$
综上，$m$ 的值为 $-4$ 或 $6$。
D
