1. 对于分式方程$\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{3}{x - 3}$，有下列说法：① 最简公分母为$(x - 3)^2$；② 转化为整式方程$x = 2 + 3$，解得$x = 5$；③ 原方程的解为$x = 3$；④ 原方程无解. 其中，正确的个数是(
D
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：1.D
解析：
①最简公分母为$x - 3$，原说法错误；
②方程两边同乘$x - 3$得：$x = 2(x - 3) + 3$，原说法错误；
③当$x = 3$时，分母$x - 3 = 0$，不是原方程的解，原说法错误；
④由②得$x = 2x - 6 + 3$，解得$x = 3$，经检验$x = 3$是增根，原方程无解，原说法正确。
正确的个数是1。
2. 分式方程$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$的解为(
C
)
A.$x = 1$
B.$x = -1$
C.无解
D.$x = -2$
答案：2.C
解析：
方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3$。
展开得$x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3$，即$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$。
合并同类项得$x + 2 = 3$，解得$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
C
3. 若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 2} + \frac{2m}{2 - x} = 2m$有增根，则这个增根是
$x = 2$
.
答案：3.$x = 2$
4. (2025·凉山)若关于$x$的分式方程$\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$无解，则$m$的值为
$-1$
.
答案：4.$-1$
解析：
解：方程两边同乘$x - 2$，得$x + m - 1 = 3(x - 2)$。
化简得$x + m - 1 = 3x - 6$，移项合并同类项得$2x = m + 5$，解得$x = \frac{m + 5}{2}$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = \frac{m + 5}{2}$，得$2 = \frac{m + 5}{2}$，解得$m = -1$。
$-1$
5. （教材变式）解方程：
（1）$\frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{3}{2x - 2}$；
（2）$\frac{4 - y}{y - 5} = \frac{1}{5 - y} - 2$；
（3）$\frac{5}{x^2 + x} - \frac{1}{x^2 - x} = 0$；
（4）$\frac{2 + x}{2 - x} + \frac{16}{x^2 - 4} = -1$.
答案：5.(1)$x = \frac{3}{2}$ (2)无解 (3)$x = \frac{3}{2}$ (4)无解
解析：
（1）方程两边同乘$2(x - 1)$，得$2 + 2(x - 1) = 3$，解得$x = \frac{3}{2}$，检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$2(x - 1) = 1 \neq 0$，所以$x = \frac{3}{2}$是原方程的解。
（2）方程两边同乘$y - 5$，得$4 - y = -1 - 2(y - 5)$，解得$y = 5$，检验：当$y = 5$时，$y - 5 = 0$，所以$y = 5$是增根，原方程无解。
（3）方程两边同乘$x(x + 1)(x - 1)$，得$5(x - 1) - (x + 1) = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$，检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$x(x + 1)(x - 1) = \frac{3}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2} = \frac{15}{8} \neq 0$，所以$x = \frac{3}{2}$是原方程的解。
（4）方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$-(x + 2)^2 + 16 = -(x^2 - 4)$，解得$x = 2$，检验：当$x = 2$时，$(x + 2)(x - 2) = 0$，所以$x = 2$是增根，原方程无解。
6. (2025·遂宁)若关于$x$的分式方程$\frac{3 - ax}{2 - x} = \frac{a}{x - 2} - 1$无解，则$a$的值为(
D
)
A.2
B.3
C.0 或 2
D.$-1$或 3
答案：6.D
7. 若关于$x$的分式方程$\frac{3x - a}{x^2 - 2x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x}$有增根，则$a$的值为(
D
)
A.0 或 2
B.4
C.8
D.4 或 8
答案：7.D
解析：
方程两边同乘$x(x - 2)$，得$3x - a + x = 2(x - 2)$。
分式方程的增根为$x = 0$或$x = 2$。
当$x = 0$时，代入整式方程：$0 - a + 0 = 2(-2)$，解得$a = 4$。
当$x = 2$时，代入整式方程：$6 - a + 2 = 0$，解得$a = 8$。
综上，$a$的值为4或8。
D
8. 若关于$x$的方程$\frac{m}{x^2 - 4} + \frac{2}{x + 2} = \frac{1}{x - 2}$有增根，则其增根是
$x = \pm 2$
.
答案：8.$x = \pm 2$
