8. 若方程$\frac{x - 3}{x - 2}+1=\frac{3}{2 - x}$的解使关于$x$的不等式$(2 - a)x - 3＞0$成立，则实数$a$的取值范围是
$a ＜ - 1$
.
答案：8.$a ＜ - 1$
解析：
解：方程两边同乘$x - 2$得：$x - 3 + (x - 2) = - 3$，
解得$x = 1$，
经检验，$x = 1$是原方程的解。
将$x = 1$代入不等式$(2 - a)x - 3＞0$得：$(2 - a)×1 - 3＞0$，
即$2 - a - 3＞0$，
$-a＞1$，
解得$a＜ - 1$。
$a＜ - 1$
9. (易错题)如果关于$x$的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=1$的解是负数，那么$m$的取值范围是
$m ＜ - 1$且$m \neq - 2$
.
答案：9.$m ＜ - 1$且$m \neq - 2$ [易错分析]方程两边同乘$x + 1$，得$2x - m = x + 1$，解得$x = m + 1$.
∵原分式方程的解是负数，
∴$x ＜ 0$且$x + 1 \neq 0$，即$m + 1 ＜ 0$且$m + 1 + 1 \neq 0$，解得$m ＜ - 1$且$m \neq - 2$.根据分式方程的解是负数得出$x$的取值范围时，容易忽视“原分式方程的分母不为$0$”这一隐含条件.
10. 解方程：
（1）$\frac{x}{x + 1}=\frac{x}{3x + 3}+1$；
（2）(2024·福建)$\frac{3}{x + 2}+1=\frac{x}{x - 2}$；
（3）$\frac{x - 1}{x + 1}-\frac{3}{x^{2}-1}=1$；
（4）$\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$.
答案：10.(1)$x = - 3$ (2)$x = 10$ (3)$x = - \frac{1}{2}$ (4)$x = - \frac{1}{2}$
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 2)$，得$(2x + 2)(x - 2)-x(x + 2)=x^{2}-2$，
展开得$2x^{2}-4x + 2x - 4 - x^{2}-2x=x^{2}-2$，
合并同类项得$x^{2}-4x - 4=x^{2}-2$，
移项得$-4x=2$，
解得$x=-\frac{1}{2}$，
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$x(x - 2)=-\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}-2)=\frac{5}{4}\neq0$，
所以$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。
11. 若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{2}{x + 2}=\frac{x + 2m}{x^{2}-4}$的解大于$1$，试确定$m$的取值范围.
答案：11.原方程可化为$\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{x + 2m}{(x + 2)(x - 2)}$，方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$(x + 2) + 2(x - 2) = x + 2m$，解得$x = m + 1$.根据题意，得$x ＞ 1$且$x \neq 2$且$x \neq - 2$，即$m + 1 ＞ 1$且$m + 1 \neq 2$且$m + 1 \neq - 2$，解得$m ＞ 0$且$m \neq 1$
12. (新考法·阅读理解)先阅读材料，再解答下面的问题：
方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{3}$.
(1)观察上述方程的解，试猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是
$x_1 = c$，$x_2 = \frac{1}{c}$
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（2）把关于$x$的方程$x+\frac{1}{x - 1}=a+\frac{1}{a - 1}$变形为方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的形式为
$x - 1 + \frac{1}{x - 1} = a - 1 + \frac{1}{a - 1}$
，方程的解是
$x_1 = a$，$x_2 = \frac{a}{a - 1}$
.解决这个问题的数学思想是
换元
.
答案：12.(1)$x_1 = c$，$x_2 = \frac{1}{c}$ (2)$x - 1 + \frac{1}{x - 1} = a - 1 + \frac{1}{a - 1}$ $x_1 = a$，$x_2 = \frac{a}{a - 1}$ 换元
