因为点$(2,-1)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象上，所以将$x = 2$，$y=-1$代入函数可得：$-1=\frac{k}{2}$，解得$k=-2$，则该反比例函数为$y=-\frac{2}{x}$。
分别验证各选项：
选项A：当$x=-2$时，$y=-\frac{2}{-2}=1\neq -1$，所以点$(-2,-1)$不在函数图象上。
选项B：当$x=-2$时，$y=-\frac{2}{-2}=1$，所以点$(-2,1)$在函数图象上。
选项C：当$x=-1$时，$y=-\frac{2}{-1}=2\neq -2$，所以点$(-1,-2)$不在函数图象上。
选项D：当$x=2$时，$y=-\frac{2}{2}=-1\neq 1$，所以点$(2,1)$不在函数图象上。
综上，这个函数图象一定经过点$(-2,1)$，答案选B。

证明：
∵ 对角线 $AC, BD$ 交于点 $O$，
∴ $\angle AOB = \angle COD$（对顶角相等）。
又
∵ $\frac{OC}{OB} = \frac{OD}{OA}$，即 $\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}$，
∴ $\triangle BOA \backsim \triangle COD$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
答案：C

∵点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y = \frac{k - 4}{x}$的图象上，
$x_1 ＜ 0 ＜ x_2$，
∴点$A$在第二或第三象限，点$B$在第一或第四象限。
∵$y_1 ＜ y_2$，
∴点$A$在第三象限，点$B$在第一象限，
∴反比例函数$y = \frac{k - 4}{x}$的图象在第一、三象限，
∴$k - 4 ＞ 0$，
∴$k ＞ 4$。
C

证明：
设正方形边长为 $2a$，则 $AD=DC=BC=AB=2a$，$E$ 为 $CD$ 中点，$DE=EC=a$。
1. 证 $\triangle ADE \sim \triangle FCE$
由 $AD // CF$，得 $\angle DAE = \angle CFE$，$\angle ADE = \angle FCE = 90°$，
故 $\triangle ADE \sim \triangle FCE$（AA），且 $\frac{CF}{AD} = \frac{CE}{DE} = 1$，即 $CF = AD = 2a$，$BF = BC + CF = 4a$。
2. 证 $\triangle FGH \sim \triangle FEC$
$HG$ 垂直平分 $AE$，则 $AH = HE$，$\angle FHG = 90°$。
在 $\triangle FGH$ 与 $\triangle FEC$ 中，$\angle F = \angle F$，$\angle FHG = \angle FCE = 90°$，
故 $\triangle FGH \sim \triangle FEC$（AA）。
3. 证 $\triangle EGC \sim \triangle FEC$
设 $CG = x$，则 $FG = CF + CG = 2a + x$，$EG = AG = \sqrt{CG^2 + CE^2} = \sqrt{x^2 + a^2}$。
在 $\triangle ABG$ 中，$AG^2 = AB^2 + BG^2$，即 $x^2 + a^2 = (2a)^2 + (4a - x)^2$，
解得 $x = \frac{19a}{8}$（此步可简化：由 $\angle GEC = \angle F$，$\angle ECG = \angle ECF = 90°$，得 $\triangle EGC \sim \triangle FEC$）。
综上，与 $\triangle FEC$ 相似的三角形有 $\triangle ADE$、$\triangle FGH$、$\triangle EGC$，共 3 个。
答案：C

解：设A中M点坐标为$(a,\frac{3}{a})$，N点坐标为$(b,\frac{3}{b})$（$a＞0,b＞0$），涂色部分面积为$\frac{1}{2}a·\frac{3}{a}+\frac{1}{2}b·\frac{3}{b}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$；
B中M点坐标为$(a,\frac{3}{a})$，N点坐标为$(c,\frac{3}{c})$（$a＞0,c＜0$），涂色部分面积为$\frac{1}{2}a·\frac{3}{a}+\frac{1}{2}|c|·|\frac{3}{c}|=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$；
C中M(1,3)，N(3,1)，涂色部分面积为$\frac{1}{2}×(1+3)×(3-1)-\int_{1}^{3}\frac{3}{x}dx$，计算得$4 - 3\ln3\approx4 - 3.296=0.704$（此步骤可简化为通过坐标求三角形面积：$\frac{1}{2}×(3 - 1)×(3 - 1)=2$，原解析有误，正确计算：以OM、ON为边的三角形，利用坐标求面积，$S=\frac{1}{2}|x_My_N - x_Ny_M|=\frac{1}{2}|1×1 - 3×3|=\frac{1}{2}|1 - 9|=4$）；
D中M(1,3)，N(-1,-3)，涂色部分面积为$\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$。
综上，C中涂色部分面积最大。
答案：C

解：设反比例函数为$I = \frac{U}{R}$。
当$I = 5\ A$，$R = 20\ \Omega$时，$U = IR = 5×20 = 100\ V$，故$I = \frac{100}{R}$。
当$R = 40\ \Omega$时，$a = \frac{100}{40} = 2.5\ A$；当$R = 80\ \Omega$时，$b = \frac{100}{80} = 1.25\ A$。
因为$2.5 ＞ 1.25$，所以$a ＞ b$。
A