解：设$P = \frac{k}{R}$（$k$为常数，$k \neq 0$）。
当$R = 10\ \Omega$时，$P_1 = \frac{k}{10}$；当$R = 20\ \Omega$时，$P_2 = \frac{k}{20}$。
由题意得：$\frac{k}{10} - \frac{k}{20} = 20$，
解得$k = 400$，即$P = \frac{400}{R}$。
当$R = 15\ \Omega$时，$P = \frac{400}{15} = \frac{80}{3}$。
$\frac{80}{3}$

解：设 $ OC = x $，则 $ OD = CD - OC = 21 - x $。
因为 $ AC \perp CD $，$ BD \perp CD $，所以 $ \angle ACO = \angle BDO = 90° $。
由反射定律知 $ \alpha = \beta $，又因为法线与 $ CD $ 垂直，所以 $ \angle AOC = 90° - \alpha $，$ \angle BOD = 90° - \beta $，故 $ \angle AOC = \angle BOD $。
因此，$ \triangle AOC \sim \triangle BOD $，则 $ \frac{AC}{BD} = \frac{OC}{OD} $。
即 $ \frac{6}{8} = \frac{x}{21 - x} $，解得 $ x = 9 $。
在 $ Rt\triangle AOC $ 中，$ \tan \alpha = \tan(90° - \angle AOC) = \frac{OC}{AC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $。
$\frac{3}{2}$