21. (10分)如图，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$AE$是边$BC$上的中线，$AB=10$，$AD=6$，$\tan\angle ACB=1$.
求：
(1)$BC$的长；
(2)$\sin\angle DAE$的值.
答案：21.(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
∵AB = 10，AD = 6，
∴在Rt△ADB中，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
∵$\tan ∠ACB = 1$，即$\tan ∠ACD = 1$，
∴在Rt△ADC中，$\tan ∠ACD = \frac{AD}{CD} = 1$.
∴$CD = AD = 6$.
∴$BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$. (2)
∵AE是边BC上的中线，
∴$CE = \frac{1}{2}BC = 7$.
∴$DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$.
∵AD⊥BC，
∴∠ADE = 90°.
∴在Rt△ADE中，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$.
∴$\sin ∠DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$.
22. (10分)在初中物理中，我们学过凸透镜的成像规律.如图，$MN$为一凸透镜，$F$是凸透镜的焦点，在焦点以外的主光轴上垂直放置一蜡烛$AB$，透过凸透镜后呈的像为$CD$.经过焦点的光线$AE$，通过凸透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线$AO$汇聚于点$C$.若焦距$OF=4$，物距$OB=6$，蜡烛的高度$AB=1$，求蜡烛的像$CD$的长度以及像$CD$与凸透镜$MN$之间的距离.
答案：22.由题意，得$EO = CD$，$AB⊥BO$，$EO⊥BO$，$CD⊥OD$，
∴∠ABO = ∠EOB = ∠CDO = 90°.
∵∠AFB = ∠EFO，
∴△ABF∽△EOF.
∴$\frac{AB}{EO} = \frac{BF}{OF}$.
∴$\frac{1}{EO} = \frac{6 - 4}{4}$.
∴$EO = 2$.
∴$EO = CD = 2$.
∵∠AOB = ∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∴$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$.
∴$\frac{1}{2} = \frac{6}{OD}$.
∴$OD = 12$.
∴蜡烛的像CD的长度为2，像CD与凸透镜MN之间的距离为12.
