22. (8分)如图，某景区内两条互相垂直的道路$a$，$b$交于点$M$，景点$A$，$B$在道路$a$上，景点$C$在道路$b$上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路$b$上又开发了风景优美的景点$D$.测得景点$C$位于景点$B$的北偏东$60^{\circ}$方向上，位于景点$A$的北偏东$30^{\circ}$方向上，景点$B$位于景点$D$的南偏西$45^{\circ}$方向上.已知$AB=800 m$.求：
(1) $\angle ACB$的度数；
(2) 景点$C$与景点$D$之间的距离(结果保留根号).
答案：22. (1)如图，标记点E，F.由题意，得$\angle CBE=60^{\circ}$，$\angle CAF=30^{\circ}$，$\angle BDM=45^{\circ}$，$BM\perp DM$，$BE// AF// DM$，$\therefore \angle BCM=\angle CBE=60^{\circ}$，$\angle ACM=\angle CAF=30^{\circ}$.$\therefore \angle ACB=\angle BCM-\angle ACM=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$ (2)$\because \angle CBE=60^{\circ}$，$\therefore \angle CBM=90^{\circ}-\angle CBE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.由(1)得$\angle ACB=30^{\circ}$，$\therefore \angle ABC=\angle ACB=30^{\circ}$.又$\because AB=800m$，$\therefore AB=AC=800m$.在Rt$\triangle ACM$中，$\sin\angle ACM=\frac{AM}{AC}$，$\cos\angle ACM=\frac{CM}{AC}$，$\therefore AM=AC·\sin\angle ACM=800×\sin30^{\circ}=800×\frac{1}{2}=400(m)$，$CM=AC·\cos\angle ACM=800×\cos30^{\circ}=800×\frac{\sqrt{3}}{2}=400\sqrt{3}(m)$.$\therefore BM=BA+AM=800+400=1200(m)$.$\because \angle BDM=45^{\circ}$，$BM\perp DM$，$\therefore DM=\frac{BM}{\tan\angle BDM}=1200m$.$\therefore DC=DM-CM=(1200-400\sqrt{3})m$.$\therefore$景点C与景点D之间的距离为$(1200-400\sqrt{3})m$
23. (8分)如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，直径$DE\perp AC$，垂足为$F$，连接$AD$，$BD$.
(1) 求证：$\angle ABD=\angle DAC$；
(2) 若$\tan\angle ABD=2$，$\odot O$的半径为5，求$AC$的长.
答案：23. (1)如图，连接DC.$\because$直径$DE\perp AC$，$\therefore AF=CF$.$\therefore DA=DC$.$\therefore \angle DAC=\angle DCA$.又$\because \angle DBA=\angle DCA$，$\therefore \angle ABD=\angle DAC$ (2)如图，连接OA.$\because \tan\angle ABD=2$，$\angle ABD=\angle DAC$，$\therefore \tan\angle DAC=2$，即$\frac{DF}{AF}=2$.设$AF=x$，则$DF=2x$，$OF=2x-5$.在Rt$\triangle AOF$中，$OA^{2}=OF^{2}+AF^{2}$，即$5^{2}=(2x-5)^{2}+x^{2}$，解得$x_1=0$(不合题意，舍去)，$x_2=4$.$\therefore AF=4$.$\because$直径$DE\perp AC$，$\therefore AC=2AF=8$.
24. (10分)如图，直线$y=k_{1}x+b$与双曲线$y=\frac{k_{2}}{x}$交于$A$，$B$两点.已知点$B$的纵坐标为$-3$，直线$AB$与$x$轴交于点$C$，与$y$轴交于点$D(0,-2)$，$OA=\sqrt{5}$，$\tan\angle AOC=\frac{1}{2}$.
(1) 求直线$AB$对应的函数解析式；
(2) 若$P$是第二象限内双曲线$y=\frac{k_{2}}{x}$上的一点，$\triangle OCP$的面积是$\triangle ODB$面积的2倍，求点$P$的坐标；
(3) 直接写出关于$x$的不等式$k_{1}x+b\leq\frac{k_{2}}{x}$的解集.
答案：24. (1)过点A作$AE\perp x$轴于点E.$\therefore \angle AEO=90^{\circ}$.在Rt$\triangle AOE$中，$\tan\angle AOC=\frac{AE}{OE}=\frac{1}{2}$，设$AE=m$，$m＞0$，则$OE=2m$.根据勾股定理，得$AE^{2}+OE^{2}=OA^{2}$，即$m^{2}+(2m)^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，解得$m=1$或$m=-1$(不合题意，舍去).$\therefore AE=1$，$OE=2$.$\therefore A(-2,1)$.$\because$点A在双曲线$y=\frac{k_2}{x}$上，$\therefore k_2=-2×1=-2$.$\therefore y=-\frac{2}{x}$.$\because$点B在双曲线上，且纵坐标为$-3$，$\therefore -3=-\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{2}{3}$.$\therefore B(\frac{2}{3},-3)$.$\because$点A$(-2,1)$，$B(\frac{2}{3},-3)$在直线$y=k_1x+b$上，$\therefore \begin{cases}-2k_1+b=1\frac{2}{3}k_1+b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-\frac{3}{2}\\b=-2\end{cases}$.$\therefore$直线AB对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{2}x-2$ (2)$\because D(0,-2)$，$\therefore OD=2$.由(1)知，$B(\frac{2}{3},-3)$，$\therefore S_{\triangle ODB}=\frac{1}{2}OD· x_B=\frac{1}{2}×2×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.$\because \triangle OCP$的面积是$\triangle ODB$面积的2倍，$\therefore S_{\triangle OCP}=2S_{\triangle ODB}=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.在$y=-\frac{3}{2}x-2$中，令$y=0$，则$-\frac{3}{2}x-2=0$，解得$x=-\frac{4}{3}$.$\therefore OC=\frac{4}{3}$.设点P的纵坐标为$n(n＞0)$，$\therefore S_{\triangle OCP}=\frac{1}{2}OC· y_P=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}n=\frac{4}{3}$，解得$n=2$.$\because$点P在双曲线$y=-\frac{2}{x}$上，$\therefore 2=-\frac{2}{x}$，解得$x=-1$.$\therefore$点P的坐标为$(-1,2)$ (3)$-2\leq x＜0$或$x\geq\frac{2}{3}$
解析：
(1)过点$A$作$AE\perp x$轴于点$E$，则$\angle AEO = 90°$。在$Rt\triangle AOE$中，$\tan\angle AOC=\frac{AE}{OE}=\frac{1}{2}$，设$AE = m(m＞0)$，则$OE = 2m$。由勾股定理得$m^2+(2m)^2=(\sqrt{5})^2$，解得$m = 1$，$\therefore AE=1$，$OE = 2$，$A(-2,1)$。
点$A$在双曲线$y=\frac{k_2}{x}$上，$\therefore k_2=-2×1=-2$，双曲线解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
点$B$在双曲线上，纵坐标为$-3$，$\therefore -3=-\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{2}{3}$，$\therefore B(\frac{2}{3},-3)$。
点$A(-2,1)$，$B(\frac{2}{3},-3)$在直线$y=k_1x + b$上，$\begin{cases}-2k_1 + b=1\\frac{2}{3}k_1 + b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-\frac{3}{2}\\b=-2\end{cases}$，直线$AB$解析式为$y=-\frac{3}{2}x-2$。
(2)$D(0,-2)$，$\therefore OD = 2$，$B(\frac{2}{3},-3)$，$S_{\triangle ODB}=\frac{1}{2}×2×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。
$S_{\triangle OCP}=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，在$y=-\frac{3}{2}x-2$中，令$y = 0$，得$x=-\frac{4}{3}$，$\therefore OC=\frac{4}{3}$。
设$P$纵坐标为$n(n＞0)$，$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}n=\frac{4}{3}$，解得$n = 2$。点$P$在双曲线$y=-\frac{2}{x}$上，$2=-\frac{2}{x}$，解得$x=-1$，$\therefore P(-1,2)$。
(3)$-2\leq x＜0$或$x\geq\frac{2}{3}$
