15. ($2025·$江西)如图，直线$l:y=\frac{2}{3}x+m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$在第一象限中的图象交于点$A(6,2)$.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将直线$l$向上平移，所得的直线$l'$与反比例函数图象交于点$C$，连接$OA,OC$，当$\angle 1=\angle 2$时，求点$C$的坐标及直线$l$向上平移的距离.
答案：15.(1)
∵点A(6,2)在直线l:y=$\frac{2}{3}$x+m上，
∴2=$\frac{2}{3}$×6+m，解得m=-2。
∴一次函数的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2。
∵点A(6,2)在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0)在第一象限中的图象上，
∴2=$\frac{k}{6}$，解得k=12。
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$ (2)
∵∠1=∠2，反比例函数的图象关于直线y=x对称，
∴点A与点C关于直线y=x对称。
∴C(2,6)。设直线l平移后所得的直线l'对应的函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x+n。将C(2,6)代入，得$\frac{2}{3}$×2+n=6，解得n=$\frac{14}{3}$。
∴$\frac{14}{3}$-(-2)=$\frac{20}{3}$，
∴直线l向上平移的距离为$\frac{20}{3}$
16. 如图，在平面直角坐标系中，$O$是坐标原点，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＞0)$的图象交于$A(2,m),B(4,2)$两点，与$x$轴、$y$轴分别交于点$N,M$.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)结合图象可知，当$kx+b-\frac{n}{x} \leq 0$时，$x$的取值范围是
0＜x≤2或x≥4
；
(3)$P$是$y$轴上的一点，当以$O,P,A,B$为顶点的四边形的面积为$7$时，求点$P$的坐标.
答案：16.(1)把B(4,2)代入y=$\frac{n}{x}$，得2=$\frac{n}{4}$，解得n=8。
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$。把A(2,m)代入y=$\frac{8}{x}$，得m=$\frac{8}{2}$=4。
∴A(2,4)。把A(2,4)，B(4,2)代入y=kx+b，得$\begin{cases} 2k+b=4, \\ 4k+b=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=6. \end{cases}$
∴一次函数的解析式为y=-x+6 (2)0＜x≤2或x≥4 (3)设P(0,a)。在y=-x+6中，令x=0，得y=6；令y=0，得x=6。
∴M(0,6)，N(6,0)。①当点P在y轴的正半轴上时，连接AP，OB，易得S_{四边形ABOP}=S_{△MON}-S_{△APM}-S_{△OBN}=$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{1}{2}$×(6-a)×2-$\frac{1}{2}$×6×2=7，解得a=1。
∴P(0,1)。②当点P在y轴的负半轴上时，连接OA，OB，BP，易得S_{四边形AOPB}=S_{△MON}-S_{△AOM}-S_{△OBN}+S_{△OBP}=$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{1}{2}$×6×2-$\frac{1}{2}$×6×2+$\frac{1}{2}$×(-a)×4=7，解得a=-0.5。
∴P(0,-0.5)。综上所述，点P的坐标为(0,1)或(0,-0.5)
17. 如图，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$在第一象限的图象交于点$P(n,2)$，与$x$轴交于点$A(-4,0)$，与$y$轴交于点$C$，$PB \perp x$轴于点$B$，且$AC=BC$.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)结合图象直接写出当$0＜kx+b＜\frac{m}{x}$时，$x$的取值范围.
(3)反比例函数图象上是否存在点$D$，使以$B,C,P,D$为顶点的四边形是菱形？如果存在，求出点$D$的坐标；如果不存在，请说明理由.
答案：17.(1)
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴O为AB的中点。
∵A(-4,0)，
∴B(4,0)。
∴P(4,2)。将A(-4,0)，P(4,2)代入y=kx+b，得$\begin{cases} -4k+b=0, \\ 4k+b=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\frac{1}{4}, \\ b=1. \end{cases}$
∴一次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+1。将P(4,2)代入y=$\frac{m}{x}$，得2=$\frac{m}{4}$，解得m=8。
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$ (2)0＜x＜4 (3)存在
∵C(0,1)，B(4,0)，P(4,2)，
∴BC=$\sqrt{4^2+1^2}$=$\sqrt{17}$，PC=$\sqrt{17}$，BP=2，
∴BC=PC≠BP。
∴以B，C，P，D为顶点的菱形的一组邻边为BC，PC。
∴易得点D的坐标为(8,1)。对于y=$\frac{8}{x}$，当x=8时，y=1，
∴点D在反比例函数的图象上。
∴反比例函数图象上存在点D，使以B，C，P，D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为(8,1)
