①在等腰三角形$ABC$和等腰三角形$DEF$中，$\angle A$与$\angle D$是顶角。当$\angle A = \angle D$时，底角$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$，$\angle E=\angle F=\frac{180^{\circ}-\angle D}{2}$，所以$\angle B = \angle E$，$\angle C=\angle F$，三个角对应相等，两个三角形相似，①正确。
②$\angle A$是$\triangle ABC$的顶角，$\angle E$是$\triangle DEF$的底角，当$\angle A=\angle E$时，无法确定其他角的关系，不能判定相似，②错误。
③$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，由于等腰三角形腰和底的对应关系不明确，无法确定相似，③错误。
④$\angle B$与$\angle E$是底角，$\angle B=\angle E$，则顶角$\angle A=180^{\circ}-2\angle B$，$\angle D=180^{\circ}-2\angle E$，所以$\angle A = \angle D$，三个角对应相等，两个三角形相似，④正确。
正确的有①④，共2个。
B

点$A(5,6)$向左平移$1$个单位长度，横坐标减$1$，得$(5-1,6)=(4,6)$。以原点为位似中心，在第一象限内缩小为原来的$\frac{1}{2}$，则横、纵坐标均乘以$\frac{1}{2}$，得$(4×\frac{1}{2},6×\frac{1}{2})=(2,3)$。
C

证明：已知$\angle C=\angle AED=90^{\circ}$，即$\triangle ABC$与$\triangle DAE$均为直角三角形。
选项A：若$\angle CAB=\angle D$，结合$\angle C=\angle AED=90^{\circ}$，则$\triangle ABC\sim\triangle DAE$（AA相似）。
选项B：若$AD//BC$，则$\angle CAB=\angle DAE$（内错角相等），结合$\angle C=\angle AED=90^{\circ}$，则$\triangle ABC\sim\triangle DAE$（AA相似）。
选项C：若$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$，且$\angle C=\angle AED=90^{\circ}$，则$\triangle ABC\sim\triangle DAE$（两边成比例且夹角相等）。
选项D：若$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$，无法直接对应直角三角形的边成比例关系，不能判定相似。
答案：D

解：
∵矩形纸片$ABCD$中，$AD=a$，$AB=b$，$E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，
∴对折后得到的矩形的长为$b$，宽为$\frac{a}{2}$。
∵新矩形与原矩形相似，
∴$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}}$，即$a^2=2b^2$，
∴$a:b=\sqrt{2}:1$。
答案：A

解：设当衣夹完全张开时，$C$，$D$两点间的距离为$x\ mm$，即能夹衣物的最大厚度为$x\ mm$.
闭合时，$C$，$D$重合，此时$\triangle CMN$与$\triangle DMN$（重合）中，$\frac{AM}{CM}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$.
张开时，$A$，$B$重合，设重合点为$P$，则$\triangle PMN$与$\triangle CPN$（或$\triangle DPN$）相似，相似比为$\frac{PM}{CM}=\frac{AM}{CM}=\frac{3}{4}$.
此时$MN=8\ mm$，设$C$，$D$两点在直线$CB$上的距离为$x$，则$\frac{MN}{CN}=\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}$（此处$CN=\frac{4}{3}MN$，$CD=CN+DN=2CN$，因$CM=DN$），可得$\frac{8}{\frac{x}{2}}=\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{56}{3}$.
即能夹衣物的最大厚度是$\frac{56}{3}\ mm$.
答案：$\frac{56}{3}$