9. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形$AOB$和菱形$OBCD$的边$AO,OD$都在$x$轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$在第一象限的图象经过点$C$. 若$\triangle ABC$的面积为$4\sqrt{3}$，则$k$的值为
4$\sqrt{3}$
.
答案：9.4$\sqrt{3}$
解析：
解：设 $ OA = a $，
∵ $ \triangle AOB $ 是等边三角形，
∴ $ OB = OA = a $，点 $ B $ 的坐标为 $ \left(-\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a\right) $。
∵ 四边形 $ OBCD $ 是菱形，
∴ $ BC = CD = OD = OB = a $，点 $ D $ 的坐标为 $ (a, 0) $，点 $ C $ 的坐标为 $ \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a\right) $。
$ \triangle ABC $ 的面积为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × 高 = \frac{1}{2} × a × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 4\sqrt{3}$
解得 $ a^2 = 16 $，即 $ a = 4 $（$ a ＞ 0 $）。
∴ 点 $ C $ 的坐标为 $ (2, 2\sqrt{3}) $。
∵ 点 $ C $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上，
∴ $ k = 2 × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $。
答案： $ 4\sqrt{3} $
10. 在平面直角坐标系中，已知$A(m,6m),B(3m,2n),C(-3m,-2n)$是函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$图象上的三点，若$S_{\triangle ABC}=2$，则$k$的值为
$\frac{3}{4}$
.
答案：10.$\frac{3}{4}$
解析：
解：因为点$A(m,6m)$在函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$6m=\frac{k}{m}$，即$k = 6m^2$。
因为点$B(3m,2n)$在函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$2n=\frac{k}{3m}$，即$k=6mn$，故$6m^2=6mn$，可得$n = m$，则$B(3m,2m)$，$C(-3m,-2m)$。
设直线$BC$的解析式为$y = ax + b$，将$B(3m,2m)$，$C(-3m,-2m)$代入得：
$\begin{cases}3ma + b=2m\\-3ma + b=-2m\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b = 0\end{cases}$，所以直线$BC$的解析式为$y=\frac{2}{3}x$。
点$A(m,6m)$到直线$BC$：$2x - 3y = 0$的距离$d=\frac{|2m-3×6m|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{|2m - 18m|}{\sqrt{13}}=\frac{16|m|}{\sqrt{13}}$。
$BC$的长度为$\sqrt{(3m + 3m)^2+(2m + 2m)^2}=\sqrt{(6m)^2+(4m)^2}=\sqrt{36m^2 + 16m^2}=\sqrt{52m^2}=2\sqrt{13}|m|$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× d=\frac{1}{2}×2\sqrt{13}|m|×\frac{16|m|}{\sqrt{13}}=16m^2$。
因为$S_{\triangle ABC}=2$，所以$16m^2 = 2$，$m^2=\frac{1}{8}$。
又因为$k = 6m^2$，所以$k=6×\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
11. 如图，直线$AB$交函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于$A,B$两点，交$x$轴于点$C$，且$AB=3BC$，连接$OA$. 若$S_{\triangle OAC}=\frac{15}{2}$，则$k$的值为
3
.
答案：11.3
解析：
解：设点$C$的坐标为$(c,0)$，直线$AB$的解析式为$y=mx+n$。
因为点$C(c,0)$在直线$AB$上，所以$mc + n = 0$，即$n=-mc$，直线$AB$的解析式为$y = mx - mc$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{k}{x}\\y = mx - mc\end{cases}$，得$mx^{2}-mcx - k=0$。
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=c$，$x_{1}x_{2}=-\dfrac{k}{m}$。
因为$AB = 3BC$，所以$AC=AB + BC=4BC$，即$\dfrac{AC}{BC}=4$。
由相似三角形性质得$\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=\dfrac{AC}{BC}=4$，即$x_{1}=4x_{2}$。
又$x_{1}+x_{2}=c$，所以$4x_{2}+x_{2}=c$，$x_{2}=\dfrac{c}{5}$，$x_{1}=\dfrac{4c}{5}$。
$x_{1}x_{2}=4x_{2}^{2}=4×(\dfrac{c}{5})^{2}=\dfrac{4c^{2}}{25}=-\dfrac{k}{m}$，则$m=-\dfrac{25k}{4c^{2}}$。
$S_{\triangle OAC}=\dfrac{1}{2}× c× y_{1}=\dfrac{1}{2}× c×\dfrac{k}{x_{1}}=\dfrac{1}{2}× c×\dfrac{k}{\dfrac{4c}{5}}=\dfrac{5k}{8}=\dfrac{15}{2}$，解得$k = 12$。
12
12. 如图，双曲线$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$经过点$A(2,3)$，射线$AB$经过点$B(0,2)$，将射线$AB$绕点$A$按逆时针方向旋转$45°$，交双曲线于点$C$，则点$C$的坐标为
（-1，-6）
.
答案：12.（-1，-6） 解析：如图，过点B作BF⊥AC于点F，过点F作FD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥DF，交DF的延长线于点E，则易得△ABF为等腰直角三角形，△AEF≌△FDB。
∴EF=DB，AE=FD。设BD=a，则EF=a。
∵A(2,3)，B(0,2)，
∴DF=2-a=AE，OD=OB-BD=2-a。易得AE+OD=3，
∴2-a+2-a=3，解得a=$\frac{1}{2}$。
∴易得F($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$)。设直线AF对应的函数解析式为y=k₁x+b。将F($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$)，A(2,3)代入，得$\begin{cases} \frac{3}{2}k_1+b=\frac{3}{2}, \\ 2k_1+b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_1=3, \\ b=-3. \end{cases}$
∴直线AF对应的函数解析式为y=3x-3。
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点A(2,3)，
∴k=2×3=6。
∴双曲线对应的函数解析式为y=$\frac{6}{x}$。联立方程组$\begin{cases} y=3x-3, \\ y=\frac{6}{x}, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$ 或$\begin{cases} x=-1, \\ y=-6. \end{cases}$
∴C(-1,-6)。
13. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象经过点$A(-2,4)$.
(1)这个函数的图象在哪些象限内？在每一个象限内，$y$随$x$的增大如何变化？
(2)点$B(4,-2),C(6,-\frac{4}{3}),D(1,8)$是否在这个函数的图象上？
答案：13.(1)由题意，得反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$。
∴这个函数的图象在第二、第四象限内，且在每一个象限内，y随x的增大而增大 (2)
∵4×(-2)=-8，6×(-$\frac{4}{3}$)=-8，1×8=8≠-8，
∴点B(4,-2)，C(6,-$\frac{4}{3}$)在这个函数的图象上，点D(1,8)不在这个函数的图象上
14. 一场暴雨过后，一洼地存雨水$20 m^3$，将雨水全部排完需$t min$，排水量为$a m^3/ min$，且$5 \leq t \leq 10$.
(1)试写出$t$与$a$之间的函数解析式，并指出$a$的取值范围；
(2)当排水量为$2.5 m^3/ min$时，将雨水全部排完需要多长时间？
答案：14.(1)由题意，得t=$\frac{20}{a}$。当t=5时，a=4；当t=10时，a=2。
∴a的取值范围是2≤a≤4 (2)将a=2.5代入t=$\frac{20}{a}$，得t=$\frac{20}{2.5}$=8。
∴将雨水全部排完需要8min
