7. (分类讨论思想)在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长为 1. 若想在第一象限作△ABC 与△OAB 相似(相似比不能为 1，C 为格点)，则点 C 的坐标为
(4,4)或(5,2)
.
答案：7.(4,4)或(5,2)
解析：
解：
$\because$ 每个小方格边长为 $1$，
$\therefore OA=1$，$OB=2$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
情况1： $\triangle ABC \sim \triangle OBA$（相似比 $k \neq 1$）
则 $\frac{AB}{OB}=\frac{BC}{BA}=\frac{AC}{OA}$，
即 $\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{BC}{\sqrt{5}}=\frac{AC}{1}$，
解得 $AC=\frac{\sqrt{5}}{2}$（非格点，舍）。
情况2： $\triangle ABC \sim \triangle OAB$（相似比 $k=2$）
则 $\frac{AC}{OA}=\frac{BC}{OB}=\frac{AB}{AB}=2$，
$\therefore AC=2OA=2$，$BC=2OB=4$，
此时 $C(4,4)$。
情况3： $\triangle ACB \sim \triangle OAB$（相似比 $k=\sqrt{5}$）
则 $\frac{AC}{OA}=\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{OB}=\sqrt{5}$，
$\therefore AC=\sqrt{5}$，$BC=5$，
此时 $C(5,2)$。
综上，点 $C$ 的坐标为 $(4,4)$ 或 $(5,2)$。
答案：$(4,4)$ 或 $(5,2)$
8. 如图，图中的每个点(包括△ABC 的各个顶点)都在边长为 1 的小正方形的顶点上，在点 P，Q，G，H 中找一个点，使它与点 D，E 构成的三角形与△ABC 相似，这个点可以是
Q或G
(写出满足条件的所有的点).
答案：8.Q或G
9. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，点 D，E 在 BC 上，且 AB = BD = DE = EC. 求证：
(1) △ADE∽△CDA；
(2) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°.
答案：9.(1)设AB=BD=DE=EC=m,则AD=$\sqrt{2}$m,CD=2m,AE=$\sqrt{5}$m,AC=$\sqrt{10}$m.
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}m}{2m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{DE}{DA}$=$\frac{m}{\sqrt{2}m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{AE}{CA}$=$\frac{\sqrt{5}m}{\sqrt{10}m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{AE}{CA}$.
∴△ADE∽△CDA
(2)由(1)知,△ADE∽△CDA.
∴∠DAE=∠3.
∵∠B=90°,AB=BD,
∴∠1=45°.
∵∠1=∠2+∠DAE,
∴∠2+∠3=∠1=45°.
∴∠1+∠2+∠3=90°
10. 如图，在 2×5 的网格中，小正方形的边长均为 1，△ABC 与△ADE 的顶点都在格点(网格线的交点)上.
(1) 求证：△ADE∽△ABC；
(2) 求∠1 + ∠2 的度数.
答案：10.(1)由勾股定理,得AD=$\sqrt{2^2 + 1^2}$=$\sqrt{5}$,DE=$\sqrt{3^2 + 1^2}$=$\sqrt{10}$,AB=$\sqrt{1^2 + 1^2}$=$\sqrt{2}$,AC=$\sqrt{1^2 + 3^2}$=$\sqrt{10}$.
∵AE=5,BC=2,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,$\frac{DE}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$.
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$.
∴△ADE∽△ABC (2)
∵△ADE∽△ABC,
∴∠ADE=∠ABC=90° + 45°=135°.
∴∠1+∠2=180°−135°=45°
11. 如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点(网格线的交点)上，$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$是△DEF 边上的五个格点.
(1) 求证：△ABC 为直角三角形；
(2) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；
(3) 画一个三角形，使它的三个顶点为点$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$中的三个并且与△ABC 相似(直接作图，不写画法与证明).
答案：11.(1)由勾股定理，得AB=$\sqrt{4^2 + 2^2}$=2$\sqrt{5}$,AC=$\sqrt{2^2 + 1^2}$=$\sqrt{5}$,BC=$\sqrt{3^2 + 4^2}$=5.
∴AB²+AC²=(2$\sqrt{5}$)²+($\sqrt{5}$)²=25=5²=BC².
∴△ABC为直角三角形 (2)△ABC和△DEF相似 理由:由勾股定理，得DE=$\sqrt{4^2 + 4^2}$=4$\sqrt{2}$,DF=$\sqrt{2^2 + 2^2}$=2$\sqrt{2}$,EF=$\sqrt{6^2 + 2^2}$=2$\sqrt{10}$.
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$,$\frac{AC}{DF}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$,$\frac{BC}{EF}$=$\frac{5}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$.
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{BC}{EF}$.
∴△ABC∽△DEF. (3)如图，△P₄P₅P₂即为所求作的三角形
