1. 如图，在三角形纸片 ABC 中，AB = 6，BC = 8，AC = 4. 在下列沿虚线剪下的阴影三角形中，与△ABC 相似的是 (
B
)
答案：1.B
解析：
在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=4，三边之比为AB:AC:BC=6:4:8=3:2:4。
选项A：阴影三角形两边长为4（假设对应AB）和8（假设对应BC），4:8=1:2≠3:4，不相似。
选项B：阴影三角形两边长为2（假设对应AC）和4（假设对应AB），2:4=1:2，且夹角与△ABC中AC、AB的夹角相等（公共角），满足两边成比例且夹角相等，相似。
选项C：阴影三角形两边长为3（假设对应AB）和4（假设对应AC），3:4≠3:2，不相似。
选项D：阴影三角形两边长为3（假设对应BC）和8（假设对应BC），无法构成与3:2:4成比例的边，不相似。
结论：与△ABC相似的是选项B。
B
2. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若 OA : OC = OB : OD，则下列结论中，一定正确的是 (
B
)
A.①②相似
B.①③相似
C.①④相似
D.②④相似
答案：2.B
解析：
证明：
∵OA:OC=OB:OD，∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△AOB∽△COD（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），即①③相似。
结论：B
3. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 上一点，BC = $\sqrt {3}$AB = 3BD. 若 AD = $\sqrt {6}$，则 AC 的长为
$3\sqrt{2}$
.
答案：3.$3\sqrt{2}$
解析：
解：设 $ BD = x $，则 $ BC = 3x $，$ AB = \frac{BC}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}x $，$ DC = BC - BD = 2x $。
在 $ \triangle ABD $ 中，由余弦定理得：
$\cos B = \frac{AB^2 + BD^2 - AD^2}{2 · AB · BD} = \frac{(\sqrt{3}x)^2 + x^2 - (\sqrt{6})^2}{2 · \sqrt{3}x · x} = \frac{3x^2 + x^2 - 6}{2\sqrt{3}x^2} = \frac{4x^2 - 6}{2\sqrt{3}x^2}$
在 $ \triangle ABC $ 中，由余弦定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos B$
代入 $ AB = \sqrt{3}x $，$ BC = 3x $ 及 $ \cos B $：
$AC^2 = (\sqrt{3}x)^2 + (3x)^2 - 2 · \sqrt{3}x · 3x · \frac{4x^2 - 6}{2\sqrt{3}x^2}$
化简得：
$AC^2 = 3x^2 + 9x^2 - 3x · (4x^2 - 6)/x = 12x^2 - 12x^2 + 18 = 18$
故 $ AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
$ 3\sqrt{2} $
4. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，∠AED = ∠B，线段 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且$\frac {AD}{AC} = \frac {DF}{CG}$.
(1) 求证：△ADF ∽ △ACG；
(2) 若$\frac {AD}{AC} = \frac {1}{2}$，求$\frac {AF}{FG}$的值.
]
答案：(1)在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\because \angle AED=\angle B$，$\angle BAC=\angle DAE$，$\therefore$易得$\angle ADF=\angle C.\because \frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，$\therefore \triangle ADF \sim \triangle ACG$ (2)由(1)知，$\triangle ADF \sim \triangle ACG$，$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}$，$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{AF}{FG}=1$
5. 如图，在□ABCD 中，AB = 10，AD = 6，E 是 AD 的中点. 若在 AB 上取一点 F，使得△CBF ∽ △CDE，则 BF 的长是 (
D
)
A.5
B.8.2
C.6.4
D.1.8
答案：5.D
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD = AB = 10$，$BC = AD = 6$，$\angle B = \angle D$。
∵$E$是$AD$的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD = 3$。
∵$\triangle CBF \sim \triangle CDE$，
∴$\frac{BF}{DE}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{BF}{3}=\frac{6}{10}$，
解得$BF = 1.8$。
答案：D
6. (易错题)如图，在△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 30°，BC = 2，D 为 AB 的中点. 若点 E 在边 AC 上，且$\frac {AD}{AB} = \frac {DE}{BC}$，则 AE 的长为 (
D
)
A.1
B.2
C.1 或 $\frac {\sqrt {3}}{2}$
D.1 或 2
答案：6.D 解析：在$\triangle ABC$中，$\angle B=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$BC=2$，$\therefore AC=2BC=4$，$\angle C=60^{\circ}.\because D$为$AB$的中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$.
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{DE}{2}=\frac{1}{2}$，$\therefore DE=1$.如图①，当$\angle ADE=90^{\circ}$时，$\because \angle ADE=\angle ABC$，$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC$.
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=2$.如图②，当$\angle ADE \neq 90^{\circ}$时，取$AC$的中点$H$，连接$DH.\because D$为$AB$的中点，$H$为$AC$的中点，$\therefore DH // BC$，$DH=\frac{1}{2}BC=1.\therefore \angle AHD=\angle C=60^{\circ}$，$DH=DE=1.\therefore \triangle EDH$为等边三角形.$\therefore \angle DEH=60^{\circ}$，$\therefore \angle ADE=30^{\circ}=\angle A.\therefore AE=DE=1$.综上所述，$AE$的长为1或2.
[易错分析]在应用三角形相似的判定时，考虑问题不全面而漏解致错.
