1. 已知△ABC 的三边长分别为 6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF 的一边长为 4 cm. 若△ABC 与△DEF 相似，则△DEF 的另外两条边的长可能是 (
C
)
A.2 cm，3 cm
B.4 cm，5 cm
C.5 cm，6 cm
D.6 cm，7 cm
答案：1.C
解析：
△ABC的三边长之比为6:7.5:9=4:5:6。
情况1：若△DEF中4cm的边对应△ABC中4份的边，则另两边为5cm、6cm。
情况2：若△DEF中4cm的边对应△ABC中5份的边，则另两边为$\frac{16}{5}$cm、$\frac{24}{5}$cm。
情况3：若△DEF中4cm的边对应△ABC中6份的边，则另两边为$\frac{8}{3}$cm、$\frac{10}{3}$cm。
选项中只有5cm，6cm符合。
C
2. (教材 P42 习题 27.2 第 3 题变式)(2025·崇川期末)在 4×4 的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形(如图)相似，下列四种画法中，正确的是 (
B
)
答案：2.B
3. 如图，点 D 在△ABC 内，连接 BD 并延长至点 E，连接 AD，AE. 如果∠EAC = 40°，∠CAD = 30°，$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$，那么∠BAC =
70°
.
答案：3.70°
解析：
证明：
∵∠EAC=40°，∠CAD=30°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=70°.
∵$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）.
∴∠BAC=∠EAD=70°.
70°
4. 如图，D，E，F 分别是△ABC 三边的中点，求证：△DEF∽△CAB.
答案：4.
∵D,E,F分别是△ABC三边的中点，
∴DE,DF,EF为△ABC的中位线.
∴DE=$\frac{1}{2}$AC,DF=$\frac{1}{2}$BC,EF=$\frac{1}{2}$AB.
∴$\frac{DE}{CA}$=$\frac{DF}{CB}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{2}$.
∴△DEF∽△CAB
5. 如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP = 3PC，Q 是 CD 的中点.△ADQ 与△QCP 是否相似？为什么？
答案：5.相似 设正方形ABCD的边长为4a，则易得CP=a,QC=2a,QP=$\sqrt{5}$a,DQ=2a,AD=4a,AQ=2$\sqrt{5}$a.
∴$\frac{DQ}{CP}$=$\frac{2a}{a}$=2,$\frac{AD}{QC}$=$\frac{4a}{2a}$=2,$\frac{AQ}{QP}$=$\frac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{5}a}$=2.
∴$\frac{DQ}{CP}$=$\frac{AD}{QC}$=$\frac{AQ}{QP}$.
∴△ADQ∽△QCP
6. (教材 P34 练习第 3 题变式)一个三角形木架的三边长分别是 75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为 60 cm 和 120 cm 的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有 (
B
)
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种
答案：6.B
解析：
设新三角形木架的三边长分别为$a$，$b$，$c$（$a \leq b \leq c$），原三角形木架三边长分别为$75\, cm$，$100\, cm$，$120\, cm$（$75 \leq 100 \leq 120$）。
情况一：以$60\, cm$为最短边$a$
相似比$k = \frac{60}{75} = \frac{4}{5}$，则$b = 100k = 100×\frac{4}{5} = 80\, cm$，$c = 120k = 120×\frac{4}{5} = 96\, cm$。从$120\, cm$木条截取$80 + 96 = 176\, cm$，$176 ＞ 120$，不可行。
情况二：以$60\, cm$为中间边$b$
相似比$k = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$，则$a = 75k = 75×\frac{3}{5} = 45\, cm$，$c = 120k = 120×\frac{3}{5} = 72\, cm$。从$120\, cm$木条截取$45 + 72 = 117\, cm$，$117 ＜ 120$，可行。
情况三：以$60\, cm$为最长边$c$
相似比$k = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$，则$a = 75k = 75×\frac{1}{2} = 37.5\, cm$，$b = 100k = 100×\frac{1}{2} = 50\, cm$。从$120\, cm$木条截取$37.5 + 50 = 87.5\, cm$，$87.5 ＜ 120$，可行。
情况四：以$120\, cm$为最短边$a$
相似比$k = \frac{120}{75} = \frac{8}{5}$，则$b = 100k = 160\, cm$，$160 ＞ 60$，不可行。
情况五：以$120\, cm$为中间边$b$
相似比$k = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$，则$a = 75k = 90\, cm$，$90 ＞ 60$，不可行。
情况六：以$120\, cm$为最长边$c$
与原三角形最长边相等，相似比$k = 1$，另两边需$75\, cm$、$100\, cm$，$75 + 100 = 175 ＞ 60$，不可行。
综上，可行截法有$2$种。
答案：B
