8. 如图，直线$AB$与$x$轴交于点$A(1,0)$，与$y$轴交于点$B(0,2)$，将线段$AB$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$得到线段$AC$，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$在第一象限的图象经过点$C$.
(1) 求直线$AB$对应的函数解析式和反比例函数的解析式；
(2) 已知$P$是反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$在第一象限的图象上的一个动点，求点$P$到直线$AB$的距离最短时的坐标.
答案：8.(1)设直线AB对应的函数解析式为y=mx+b(m≠0).
∵点A(1,0)，B(0,2)在直线AB上，
∴$\begin{cases}0=m+b,\\2=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\b=2.\end{cases}$
∴直线AB对应的函数解析式为y=-2x+2.过点C作CD⊥x轴于点D.
∵线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AC，
∴易得△CAD≌△ABO.
∴AD=BO=2，CD=AO=1.
∴易得点C的坐标为(3,1).
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0)在第一象限的图象上，
∴k=3.
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$
(2)由题意，可设经过点P且与直线AB平行的直线对应的函数解析式为y=-2x+h(h＞0).令-2x+h=$\frac{3}{x}$，则2x²−hx+3=0.当(-h)²−4×2×3=0，即h=2$\sqrt{6}$或h=-2$\sqrt{6}$(不合题意，舍去)时，点P到直线AB的距离最短，此时易得点P的坐标为($\frac{\sqrt{6}}{2}$,$\sqrt{6}$)
9. 已知反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$，当$2 \leq x \leq 3$时，函数$y$的最大值为$a$，则当$- 2 \leq x \leq - 1$时，该函数有
(
B
)
A.最大值$- 2a$
B.最小值$- 2a$
C.最小值$- a$
D.最大值$- \frac{a}{2}$
答案：9.B
解析：
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$，
∴在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$2 \leq x \leq 3$时，$x=2$时$y$取最大值$a$，即$a=\frac{k}{2}$，解得$k=2a$。
函数为$y = \frac{2a}{x}$，在第三象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$- 2 \leq x \leq - 1$时，$x=-1$时$y$取最小值，$y=\frac{2a}{-1}=-2a$。
B
10. (2025·山东)如图，在平面直角坐标系中，$A$，$C$两点在坐标轴上，四边形$OABC$是面积为$4$的正方形.若函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点$B$，则满足$y \geq 2$的$x$的取值范围是 (
A
)
A.$0 ＜ x \leq 2$
B.$x \geq 2$
C.$0 ＜ x \leq 4$
D.$x \geq 4$
答案：10.A
解析：
解：
∵四边形$OABC$是面积为$4$的正方形，
∴正方形边长为$\sqrt{4}=2$，
∴点$B$坐标为$(2,2)$。
∵函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点$B$，
∴$k=2×2=4$，函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
当$y\geq2$时，$\frac{4}{x}\geq2$，
∵$x＞0$，
∴$4\geq2x$，解得$x\leq2$，
∴$x$的取值范围是$0 ＜ x \leq 2$。
A
11. 一次函数$y = mx + n$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象交于点$A( - \frac{1}{m}, - 2m)$，$B(m,1)$，若$O$为原点，则$\bigtriangleup OAB$的面积是 (
D
)
A.$3$
B.$\frac{13}{4}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{15}{4}$
答案：11.D
解析：
解：将点$B(m,1)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$1=\frac{m}{m}$，等式恒成立。
将点$A(-\frac{1}{m}, -2m)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$-2m=\frac{m}{-\frac{1}{m}}$，即$-2m=-m^2$，解得$m=2$（$m=0$舍去）。
则$A(-\frac{1}{2}, -4)$，$B(2,1)$。
设直线$AB$的解析式为$y=2x+n$，将$B(2,1)$代入得$1=4+n$，解得$n=-3$，故直线$AB$：$y=2x-3$。
直线$AB$与$x$轴交于点$C$，令$y=0$，得$x=\frac{3}{2}$，即$C(\frac{3}{2},0)$。
$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4+\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×1=\frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$
