12. (2025·龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$都在双曲线$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$在第二象限的一支上，且点$A$在点$B$的右侧，点$A$的横坐标为$- 1$，$\angle AOB = \angle ABO = 45°$，则$k$的值为 (
D
)
A.$\sqrt{2}$
B.$- \frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D.$- \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
答案：12.D 解析：如图，过点A作MN//x轴，交y轴于点N，过点B作BM⊥MN，垂足为M.
∴∠BMA=∠ANO=90°.
∵∠AOB=∠ABO=45°，
∴AB=AO，∠BAO=90°.
∴△AOB是等腰直角三角形.
∵∠MAB+∠NAO=90°，∠MAB+∠MBA=90°，
∴∠MBA=∠NAO.在△BMA和△ANO中，$\begin{cases}∠MBA=∠NAO,\\∠BMA=∠ANO,\end{cases}$
∴△BMA≌△ANO.
∴BM=AN，AM=ON.
∵点A的横坐标为-1，
∴A(-1,-k)，AN=BM=1.
∴ON=AM=-k.
∴B(-1+k,-k-1).
∵点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$(k≠0)上，
∴k=(-1+k)(-1-k)=1-k².整理，得k²+k-1=0，解得k=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(舍去)或k=-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
13. (2025·甘肃)已知点$A(2,y_1)$和点$B(6,y_2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象上.如果$y_1 ＞ y_2$，那么$k =$
6
(请写出一个符合条件的$k$值).
答案：13.答案不唯一，如6
14. 如图，一次函数$y_1 = (k - 5)x + b$的图象与函数$y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象相交于$A$，$B$两点，当$y_1 ＞ y_2$时，$x$的取值范围是$1 ＜ x ＜ 4$，则$k$的值为
4
.
答案：14.4
解析：
解：由题意知，点$A(1,y)$，$B(4,y)$均在$y_2 = \frac{k}{x}$上，
$\therefore y = \frac{k}{1} = k$，$y = \frac{k}{4}$，
$\because$点$A$，$B$也在$y_1=(k - 5)x + b$上，
$\therefore\begin{cases}k=(k - 5)×1 + b\\frac{k}{4}=(k - 5)×4 + b\end{cases}$，
解得$k = 4$。
4
15. 如图，矩形$ABCD$的顶点$B$，$D$落在反比例函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，点$A$落在反比例函数$y = \frac{k}{x}$为常数，$k \neq 0)$在第二象限的图象上，矩形$ABCD$被坐标轴分割成四个小矩形.若在第四象限的小矩形的面积为$1$，则$k$的值为
-4
.
答案：15.-4
解析：
解：设点$D$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$（$a＞0$），点$B$的坐标为$(b,\frac{2}{b})$（$b＜0$）。
因为四边形$ABCD$是矩形，且被坐标轴分割，所以点$A$的横坐标为$b$，纵坐标为$\frac{2}{a}$；点$C$的横坐标为$a$，纵坐标为$\frac{2}{b}$。
第四象限的小矩形由点$(0,0)$、$(a,0)$、$(a,\frac{2}{b})$、$(0,\frac{2}{b})$构成，其面积为$a×|\frac{2}{b}| = 1$。由于$b＜0$，$\frac{2}{b}＜0$，则$a×(-\frac{2}{b}) = 1$，即$-\frac{2a}{b}=1$，得$b=-2a$。
点$A(b,\frac{2}{a})$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$\frac{2}{a}=\frac{k}{b}$，将$b=-2a$代入得：$\frac{2}{a}=\frac{k}{-2a}$，解得$k=-4$。
故答案为$-4$。
16. 如图，在平面直角坐标系中，$\bigtriangleup OAB$的顶点$A$，$B$都在第一象限，反比例函数$y = \frac{k}{x}$在第一象限的图象经过$A$，$B$两点，$AC \perp x$轴于点$C$，$AC$与$OB$交于点$D$.若$\frac{AD}{CD} = \frac{5}{4}$，$\bigtriangleup ABD$的面积为$1$，则$k$的值为
$\frac{36}{5}$
.
答案：16.$\frac{36}{5}$ 解析：由题意，设点A的坐标为(m,$\frac{k}{m}$)(m＞0).
∵AC⊥x轴，$\frac{AD}{CD}=\frac{5}{4}$，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{4}{9}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{5}{9}$.
∴C(m,0)，D(m,$\frac{4k}{9m}$)，AD=$\frac{5k}{9m}$.设直线OD对应的函数解析式为y=ax，则$\frac{4k}{9m}$=am.
∴a=$\frac{4k}{9m²}$.
∴直线OD对应的函数解析式为y=$\frac{4k}{9m²}$x.联立$\begin{cases}y=\frac{4k}{9m²}x,\\y=\frac{k}{x}\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{3}{2}m,\\y=\frac{2k}{3m}\end{cases}$(负值舍去).
∴点B的坐标为($\frac{3}{2}m$,$\frac{2k}{3m}$).
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$AD·(xB−xD)=$\frac{1}{2}$×$\frac{5k}{9m}$×($\frac{3}{2}m$−m)=1.
∴k=$\frac{36}{5}$.
17. (2025·南充)如图，一次函数与反比例函数图象交于点$A( - 3,1)$，$B(1,n)$.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)$C$是反比例函数在第二象限的图象上一点，其横坐标为$a(a ＜ - 3)$，过点$C$作$x$轴的垂线，交直线$AB$于点$D$，$CD = \frac{7}{2}$，求$a$的值.
答案：17.(1)设反比例函数的解析式为y=$\frac{k_1}{x}$(k₁≠0).
∵反比例函数的图象经过点A(-3,1)，
∴k₁=-3.
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{x}$.
∵点B(1,n)在反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象上，
∴n=-3.
∴B(1,-3).设一次函数的解析式为y=k₂x+b(k₂≠0).
∴$\begin{cases}-3k₂+b=1,\\k₂+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₂=-1,\\b=-2.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为y=-x-2
(2)
∵点C在反比例函数的图象上，点D在直线AB上，点C的横坐标为a，CD⊥x轴，
∴C(a,-$\frac{3}{a}$)，D(a,-a-2).
∵CD=$\frac{7}{2}$，
∴(-a-2)-(-$\frac{3}{a}$)=$\frac{7}{2}$，即2a²+11a-6=0.
∴a₁=-6，a₂=$\frac{1}{2}$.
∵a＜-3，
∴a=-6
