答案：(2,3)　y=2x - 5　点拨:
∵y=kx - 2k+3=k(x - 2)+3,
∴当x=2时,y=3.
∴直线y=kx - 2k+3必过定点(2,3).
∵2a - 3=2(a+1) - 5,
∴点(a+1,2a - 3)一定在直线y=2x - 5上.

答案：
( - $\frac{1}{2}$, - $\frac{1}{2}$)　点拨:如答图，过点A作AB'⊥OB,垂足为B'，由垂线段最短可知，当点B'与点B重合时，线段AB最短.　　　　　　　
　
∵点B在直线y=x上运动,
∴△AOB'是等腰直角三角形.　过点B'作B'C⊥x轴,垂足为C,
∴△B'CO为等腰直角三角形.
∵点A的坐标为( - 1,0),
∴OC=CB'=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$.
∴点B'的横坐标为 - $\frac{1}{2}$,代入直线y=x,得点B'的纵坐标为 - $\frac{1}{2}$,
∴点B'的坐标为( - $\frac{1}{2}$, - $\frac{1}{2}$).
∴当线段AB最短时，点B的坐标为( - $\frac{1}{2}$, - $\frac{1}{2}$).

答案：
解:
(1)如答图,过点P作CD⊥y轴于点D,过点Q作QC⊥CD于点C,则点Q的横坐标为线段CD的长.　设PD=m,DO=n,则P(m,n).
∵A(4,0),B(0,4),
∴设直线AB的函数表达式为y=kx+4,　则4k+4=0,解得k= - 1,
∴直线AB的函数表达式为y= - x+4,
∴n= - m+4,
∴m+n=4.
∵PD⊥OD,PC⊥CQ,OP⊥PQ,
∴∠ODP=∠PCQ=∠OPQ=90°,
∴∠DOP+∠DPO=∠DPO+∠CPQ=90°,
∴∠DOP=∠CPQ.　又
∵PQ=PO,
∴△ODP≌△PCQ(AAS),
∴PC=DO.
∵CD=CP+PD,
∴CD=OD+PD=m+n=4.
∴点Q的横坐标为4,
∴当点P在线段AB上运动时，点Q的横坐标始终为4.
∴点Q在确定的直线x=4上.　　　　　
(2)由
(1)知,当点P(m,n)在线段AB上运动时,点Q的横坐标为4,由题意知M是线段OQ的中点，设M(a,b),则a=$\frac{0 + 4}{2}$=2,
∴点M在直线x=2上.当点P运动到与点A重合时,由答图可知，点Q与点Q₂(4, - 4)重合,此时a=2,b=$\frac{0 - 4}{2}$= - 2,
∴点M会与点M₂(2, - 2)重合.同理,当点P运动到与点B重合时,点M会与点M₁(2,2)重合.
∴当点P从点A运动到点B时,点M运动的路径长就是线段M₁M₂的长.
∵M₁M₂=2 - ( - 2)=4,
∴点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为4.