1. (2024·广元)近年来,中国传统服饰备受大家的青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售,进货价和销售价如下表:
(1)该服装店第一次用 4300 元购进长、短两款服装共 50 件,求两款服装分别购进的件数;
(2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共 200 件(进货价和销售价都不变),且第二次进货总价不高于 16800 元.该服装店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润? 最大销售利润是多少元?
答案：1.解:
(1)设购进短款服装x件,购进长款服装y件.
根据题意得{x+y=50,80x+90y=4300,解得{x=20,y=30.
答:购迸长款服装30件,购进短款服装20件.
(2)设第二次购进m件短款服装,则购进(200-m)件长款服装,
∴80m+90(200-m)≤16800,解得m≥120.
设利润为w元,则w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6000.
∵-10＜0,
∴w随m的增大而减小.
∴当m=120时,w取得最大值,最大值为-10×120+6000=4800.
答:当购进120件短款服装,80件长款服装时能获得最大销售利润,最大销售利润是4800元.
2. (2024·大兴安岭)为了增强学生的体质,某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动,需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子 10 个和乙种品牌毽子 5 个共需 200 元;购买甲种品牌毽子 15 个和乙种品牌毽子 10 个共需 325 元.
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元?
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费 1000 元,甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的 5 倍且不超过乙种品牌毽子数量的 16 倍,则有几种购买方案?
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子的利润是 5 元,每售出一个乙种品牌毽子的利润是 4 元,在(2)的条件下,学校如何购买毽子商家才能获得最大利润? 最大利润是多少元?
答案：2.解:
(1)设购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子分别需要a元、b元.根据题意,
得{10a+5b=200,15a+10b=325,解得{a=15,b=10.
答:购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子分别需要15元、10元.
(2)设购买甲种品牌毽子x个,则购买乙种品牌毽子1000-15x10=(100-1.5x)个.根据题意,得
{x≥5(100-1.5x),x≤16(100-1.5x),解得581417≤x≤64.
∵x和100-1.5x都是整数,
∴x=60,62,64.从而100-1.5x=10,7,4.
∴共有3种购买方案.
(3)设商家获得的总利润为y元.由题意得y=5x+4(100-1.5x)=-x+400.
∵-1＜0,
∴y随x的增大而减小.
∴当x=60时,y最大值=340.
答:学校购买甲种品牌毽子60个,购买乙种品牌毽子10个时,商家才能获得最大利润,最大利润是340元.
