3. 某校元旦趣味运动会需购买 A,B 两种奖品,若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件,共需 80 元;若购买 A 种奖品 5 件和 B 种奖品 4 件,共需 150 元.
(1)求 A,B 两种奖品的单价各是多少元?
(2)学校计划购买 A,B 两种奖品共 100 件,购买费用不超过 1375 元,且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖品数量的 4 倍.设购买 A 种奖品 m 件,购买费用为 W 元,写出 W(元)与 m(件)之间的函数关系,求出自变量 m 的取值范围,并确定最小费用 W.
答案：3.解:
(1)设A,B两种奖品的单价分别是x元、y元.根据题意,得{3x+2y=80,5x+4y=150,解得{x=10,y=25.
答:A,B两种奖品的单价分别是10元、25元.
(2)由题意,得W=10m+25(100-m)=-15m+2500,
由{-15m+2500≤1375,m≤4(100-m),解得75≤m≤80且m为整数.
∵k=-15＜0,
∴W随m的增大而减小.
∴当m=80时,W取最小值,为-15×80+2500=1300元.
∴W=-15m+2500(75≤m≤80且m为整数),最小费用W为1300.
4. (2024·德阳)罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一,至今有 200 多年的历史,采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋,经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以 16 道工序手工制作而成.为了迎接端午节,进一步提升糯米咸鹅蛋的销量,德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售,有 A,B 两种组合方式,其中 A 组合有 4 枚糯米咸鹅蛋和 6 个肉粽,B 组合有 6 枚糯米咸鹅蛋和 10 个肉粽.A,B 两种组合的进价和售价如下表.
(1)每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少元?
(2)根据市场需求,超市准备的 B 种组合数量比 A 种组合数量的 3 倍少 5 件,且两种组合的总件数不超过 95,假设准备的两种组合全部售出,为使利润最大,该超市应准备多少件 A 种组合? 最大利润为多少元?
答案：4.解:
(1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元,每个肉粽的进价是y元.
根据题意,得{4x+6y=94,6x+10y=146,
解得{x=16,y=5.
答:每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元,每个肉粽的进价是5元.
(2)设该超市准备m件A种组合,则该超市准备(3m-5)件B种组合.
根据题意,得m+3m-5≤95,解得m≤25.
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元,则w=(120-94)m+(188-146)(3m-5),即w=152m-210.
∵152＞0,
∴w随m的增大而增大,
∴当m=25时,w取得最大值,最大值为152×25-210=3590.
答:为使利润最大,该超市应准备25件A种组合,最大利润为3590元.
