3. 选择适当的方法解下列方程：
(1) $7(2x - 3)^{2}= 28$；
(2) $y^{2}-2y - 399 = 0$；
(3) $2x^{2}+1 = 2\sqrt{5}x$；
(4) $(2x + 1)^{2}+3(2x + 1)+2 = 0$.
答案：(1) $7(2x - 3)^{2}=28$
两边同除以7：$(2x - 3)^{2}=4$
开平方：$2x - 3=\pm 2$
解得：$2x=3+2$或$2x=3-2$
即$x_{1}=\frac{5}{2}$，$x_{2}=\frac{1}{2}$
(2) $y^{2}-2y - 399=0$
移项：$y^{2}-2y=399$
配方：$y^{2}-2y + 1=399 + 1$，即$(y - 1)^{2}=400$
开平方：$y - 1=\pm 20$
解得：$y=1+20$或$y=1-20$
即$y_{1}=21$，$y_{2}=-19$
(3) $2x^{2}+1=2\sqrt{5}x$
移项：$2x^{2}-2\sqrt{5}x + 1=0$
$a=2$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×2×1=20 - 8=12$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{2\sqrt{5}\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{3}}{2}$
即$x_{1}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
(4) $(2x + 1)^{2}+3(2x + 1)+2=0$
设$t=2x + 1$，则$t^{2}+3t + 2=0$
因式分解：$(t + 1)(t + 2)=0$
解得$t=-1$或$t=-2$
当$t=-1$时，$2x + 1=-1$，$x=-1$
当$t=-2$时，$2x + 1=-2$，$x=-\frac{3}{2}$
即$x_{1}=-1$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$
4. 已知关于$x的一元二次方程(m + 1)x^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根.
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 若$x = 1$是该方程的一个根,求$m$的值和另一个根.
答案：（1）
$\because$关于$x$的一元二次方程$(m + 1)x^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \begin{cases}m + 1\neq 0,\\\Delta=(-2)^{2}-4× (m + 1)× (-1)＞0.\end{cases}$
由$m + 1\neq 0$，得$m\neq -1$；
由$\Delta = 4 + 4(m + 1)＞0$，
即$4 + 4m+4＞0$，
$4m+8＞0$，
$4m＞-8$，
得$m ＞ - 2$。
$\therefore m$的取值范围是$m ＞ - 2$且$m\neq -1$。
（2）
$\because x = 1$是方程$(m + 1)x^{2}-2x - 1 = 0$的一个根，
$\therefore$把$x = 1$代入方程得$(m + 1)-2 - 1 = 0$，
$m+1-2 - 1 = 0$，
$m-2=0$，
解得$m = 2$。
把$m = 2$代入原方程得$3x^{2}-2x - 1 = 0$，
设方程的另一个根为$x_{1}$，由根与系数的关系$x\cdot x_{1}=-\frac{1}{3}$（$x = 1$），
则$1× x_{1}=-\frac{1}{3}$，
解得$x_{1}=-\frac{1}{3}$。
$\therefore m$的值为$2$，另一个根为$-\frac{1}{3}$。
*5. 已知$x_{1}$、$x_{2}是关于x的一元二次方程x^{2}-6x + k = 0$的两个实数根,且$x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}-x_{2}= 115$.
(1) 求$k$的值；
(2) 求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8$的值.
答案：(1)
根据韦达定理，对于一元二次方程$x^{2}-6x + k = 0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=6$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=k$。
因为$x_{1}$、$x_{2}$是实数根，所以$\Delta =b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4k\geqslant0$，即$k\leqslant9$。
已知$x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}-x_{2}=115$，将$x_{1}x_{2}=k$，$x_{1}+x_{2}=6$代入可得：
$k^{2}-6 = 115$，
$k^{2}=121$，
解得$k=\pm11$。
又因为$k\leqslant9$，所以$k = - 11$。
(2)
根据完全平方公式$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
把$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=-11$代入可得：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6^{2}-2×(-11)=36 + 22=58$。
则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8=58 + 8=66$。
综上，答案为：(1)$k=-11$；(2)$66$。
1. 已知关于$x的方程kx^{2}+(2k + 1)x + 2 = 0$.求证：无论$k$取任何实数,该方程总有实数根.
答案：证明：
1. 当$k = 0$时，方程化为$x + 2 = 0$，解得$x=-2$，有实数根。
2. 当$k\neq0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta=(2k + 1)^2-4× k×2=4k^2 + 4k + 1-8k=4k^2-4k + 1=(2k - 1)^2\geq0$，方程有两个实数根。
综上，无论$k$取任何实数，该方程总有实数根。
2. 我们可以用“转化”的数学思想解一些其他类型的方程. 例如,一元三次方程$x^{3}+x^{2}-2x = 0$,可以通过因式分解转化为$x(x^{2}+x - 2)= 0$,解方程$x = 0和x^{2}+x - 2 = 0$,可得原方程的根.
(1) 问题：方程$x^{3}+x^{2}-2x = 0的根是x_{1}= 0$,$x_{2}= $
1
,$x_{3}= $
-2
；
(2) 拓展：用“转化”思想解方程$\sqrt{2x + 3}= x$.
$x = 3$
答案：(1) $x^3 + x^2 - 2x = 0$因式分解得$x(x^2 + x - 2) = 0$，解方程$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 1) = 0$，得$x = -2$或$x = 1$，故原方程根为$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，$x_3 = -2$。
(2) $\sqrt{2x + 3} = x$，两边平方得$2x + 3 = x^2$，整理得$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解$(x - 3)(x + 1) = 0$，解得$x = 3$或$x = -1$。检验：当$x = 3$时，左边$\sqrt{2×3 + 3} = 3$，右边$3$，成立；当$x = -1$时，左边$\sqrt{2×(-1) + 3} = 1$，右边$-1$，不成立，舍去。故方程的解为$x = 3$。
(1) $1$；$-2$
(2) $x = 3$
