1. 一元二次方程主要有哪些解法？举例说明各种解法,并说明如何根据方程特点灵活选用解一元二次方程的方法.
答案：1. 直接开平方法：适用于形如$(x+a)^2=b(b\geq0)$的方程。例：$(x-2)^2=9$，开平方得$x-2=\pm3$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
2. 配方法：步骤：化二次项系数为1→移项→配方（加一次项系数一半的平方）→化为直接开平方形式。例：$x^2+6x+5=0$，移项得$x^2+6x=-5$，配方得$x^2+6x+9=4$，即$(x+3)^2=4$，开平方得$x+3=\pm2$，解得$x_1=-1$，$x_2=-5$。
3. 公式法：适用于所有一元二次方程，先化为$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，计算$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta\geq0$，则$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$。例：$2x^2-3x-2=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，$\Delta=9+16=25$，$x=\frac{3\pm5}{4}$，解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
4. 因式分解法：适用于左边能分解为两个一次因式乘积，右边为0的方程，即$(x+m)(x+n)=0$，则$x=-m$或$x=-n$。例：$x^2-5x+6=0$，分解为$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
选用方法：优先考虑直接开平方法（形如$(x+a)^2=b(b\geq0)$）或因式分解法（左边可因式分解）；若不行，用公式法（通用）或配方法（二次项系数为1且一次项系数为偶数时较简便）。
2. 如何根据一元二次方程根的判别式来判别一元二次方程的根的情况？举例说明.
答案：对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$（$a \neq 0$），其根的判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$，根据判别式 $\Delta$ 的值，可以判别方程的根的情况：
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
举例：方程 $x^{2} - 3x + 2 = 0$，其中 $a = 1, b = -3, c = 2$，计算判别式 $\Delta = (-3)^{2} - 4 × 1 × 2 = 1 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根 $x_{1} = 1, x_{2} = 2$。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。
举例：方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = 1$，计算判别式 $\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × 1 = 0$，所以方程有两个相等的实数根 $x_{1} = x_{2} = 1$。
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
举例：方程 $x^{2} + x + 1 = 0$，其中 $a = 1, b = 1, c = 1$，计算判别式 $\Delta = 1^{2} - 4 × 1 × 1 = -3 ＜ 0$，所以方程没有实数根。
*3. 写出一元二次方程的根与系数的关系.
答案：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），设其两个根为$x_1$，$x_2$，则根与系数的关系为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
1. 填空题：
(1) 方程$x^{2}= 4x$的根是
$x_1 = 0$，$x_2 = 4$
；
(2) 已知关于$x的方程x^{2}+(k + 3)x + k = 0的一个根是-2$,则另一个根是
1
；
*(3) 若$m$、$n是一元二次方程x^{2}-5x - 2 = 0$的两个实数根,则$m + n - mn$的值是
7
.
答案：(1)$x_1 = 0$，$x_2 = 4$；(2)$1$；(3)$7$
解析：
(1) 方程$x^2 = 4x$移项得$x^2 - 4x = 0$，因式分解得$x(x - 4) = 0$，则$x = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
(2) 已知方程$x^2 + (k + 3)x + k = 0$的一个根是$-2$，代入得$(-2)^2 + (k + 3)(-2) + k = 0$，即$4 - 2k - 6 + k = 0$，化简得$-k - 2 = 0$，解得$k = -2$。原方程为$x^2 + (-2 + 3)x + (-2) = 0$，即$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x + 2)(x - 1) = 0$，另一个根是$1$。
(3) 对于方程$x^2 - 5x - 2 = 0$，由根与系数的关系得$m + n = 5$，$mn = -2$，则$m + n - mn = 5 - (-2) = 7$。
2. 选择题：
(1) 下列方程中,一定是关于$x$的一元二次方程的是(
B
)
A. $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= 0$
B. $(x - 1)(x + 2)= 3$
C. $ax^{2}+bx + c = 0$
D. $x^{2}-2xy - 3y^{2}= 0$
(2) 用配方法解一元二次方程$x^{2}+8x + 7 = 0$,方程可变形为(
B
)
A. $(x - 4)^{2}= 9$
B. $(x + 4)^{2}= 9$
C. $(x - 8)^{2}= 16$
D. $(x + 8)^{2}= 57$
(3) 一元二次方程$x^{2}+2x + 2 = 0$的根的情况是(
D
)
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 无实数根
答案：(1)B
(2)B
(3)D
解析：
(1)
A 选项：方程$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 0$中，$\frac{1}{x^{2}}$不是整式，该方程是分式方程，不是一元二次方程。
B 选项：将$(x - 1)(x + 2)= 3$展开得$x^{2}+2x - x - 2 = 3$，即$x^{2}+x - 5 = 0$，符合一元二次方程的定义。
C 选项：当$a = 0$时，方程$ax^{2}+bx + c = 0$变为$bx + c = 0$，是一元一次方程，不一定是一元二次方程。
D 选项：方程$x^{2}-2xy - 3y^{2}= 0$含有两个未知数$x$和$y$，是二元二次方程，不是一元二次方程。
(2)
对$x^{2}+8x + 7 = 0$进行配方，$x^{2}+8x=-7$，在等式两边加上$16$得$x^{2}+8x + 16 = 9$，即$(x + 4)^{2}= 9$。
(3)
对于一元二次方程$x^{2}+2x + 2 = 0$，其判别式$\Delta = 2^{2}-4×1×2=4 - 8=-4\lt0$，所以方程无实数根。
