1. 用一元二次方程解决问题需要经历哪些步骤？
答案：1. 审题，明确题意，找出已知量和未知量；
2. 设未知数，根据题意合理设出未知数；
3. 列方程，根据题目中的等量关系列出一元二次方程；
4. 解方程，求出方程的解；
5. 检验，检验方程的解是否符合实际意义；
6. 作答，写出答案。
2. 某商场于今年五月以 30 元/件的价格购进一批商品,售价为 40 元/件,五月共销售了 256 件. 六月、七月该商品的销量增长迅速,七月的销量达到 400 件. 若六月、七月销量的月平均增长率相同,请解决下列问题：
(1) 求六月、七月这两个月销量的月平均增长率.
(2) 从八月起,商场对该商品进行降价促销,经调查发现,该商品每降价 0.5 元,销量增加 5 件. 当商品降价多少元时,该商品的利润可达到 2640 元？
答案：(1) 设月平均增长率为 $x$。
根据题意，五月的销量为 $256$ 件，七月的销量为 $400$ 件，且六月、七月的月平均增长率相同。
因此，七月的销量可以表示为：
$256(1 + x)^{2} = 400$
解这个方程，我们得到：
$(1 + x)^{2} = \frac{400}{256}$
$(1 + x)^{2} = \frac{25}{16}$
$1 + x = \pm\frac{5}{4}$
由于增长率不能为负，我们取正根：
$x = \frac{5}{4} - 1 = 0.25$
或表示为百分比形式：
$x = 25\%$
答：六月、七月这两个月销量的月平均增长率为 $25\%$。
(2) 设当商品降价 $m$ 元时，该商品的利润达到 $2640$ 元。
原售价为 $40$ 元，进价为 $30$ 元，因此原单件利润为 $10$ 元。
降价后，单件利润为 $10 - m$ 元。
同时，销量会增加，根据题意，每降价 $0.5$ 元，销量增加 $5$ 件。
因此，降价 $m$ 元后，销量增加 $\frac{m}{0.5} × 5 = 10m$ 件。
原七月销量为 $400$ 件，所以降价后的销量为 $400 + 10m$ 件。
根据题意，降价后的总利润为：
$(10 - m)(400 + 10m) = 2640$
展开并整理得：
$4000 + 100m - 400m - 10m^{2} = 2640$
$-10m^{2} - 300m + 1360 = 0$
$m^{2} + 30m - 136 = 0$
解这个方程，我们得到：
$(m - 4)(m + 34) = 0$
$m = 4 \quad 或 \quad m = -34$
由于降价不能为负，我们取 $m = 4$。
答：当商品降价 $4$ 元时，该商品的利润可达到 $2640$ 元。
1. 填空题：
(1) 一个两位数,个位数字比十位数字大 3,个位数字的平方刚好等于这个两位数,这个两位数为
25或36
；
(2) 从一块正方形铁板的一侧裁去一块宽为 3 m 的矩形铁板,剩下的铁板的面积为$ 40 m^2,$原正方形铁板的边长为
8
m.
答案：(1)25或36；(2)8
解析：
(1) 设十位数字为x，则个位数字为x+3，这个两位数为10x+(x+3)。根据题意得(x+3)²=10x+(x+3)，整理得x²-5x+6=0，解得x₁=2，x₂=3。当x=2时，两位数为25；当x=3时，两位数为36。
(2) 设原正方形铁板的边长为x m，根据题意得x(x-3)=40，整理得x²-3x-40=0，解得x₁=8，x₂=-5(舍去)，故边长为8 m。
2. 选择题：
(1) 若一个直角三角形三边的长为连续整数,则斜边长为(
C
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
(2) 一个三角形两边的长是 3 和 4,第三边的长是方程 $x^2 - 12x + 35 = 0$ 的根,该三角形的周长为(
B
)
A. 14
B. 12
C. 12 或 14
D. 以上都不对
(3) 用长为 6 m 的铝合金条制成“日”字形窗框,要求窗户的透光面积为 1.5 m^2,材料的宽度不计,则窗框的宽为(
B
)
A. 0.5 m
B. 1 m
C. 1.5 m
D. 2 m
(4) 在某次聚会上,每两人之间握了一次手,所有人共握手 10 次. 设有 $x$ 人参加这次聚会. 根据题意,可列方程(
B
)
A. $x(x - 1) = 10$
B. $\frac{x(x - 1)}{2} = 10$
C. $x(x + 1) = 10$
D. $\frac{x(x + 1)}{2} = 10$
答案：(1)C
(2)B
(3)B
(4)B
解析：
(1)设中间的整数是$x$，则另外两边是$x - 1$，$x + 1$，根据勾股定理得$(x - 1)^2 + x^2 = (x + 1)^2$，$x^2 - 4x = 0$，解得$x = 4$（$x = 0$舍去），所以斜边是$x + 1 = 5$。
(2)解方程$x^2 - 12x + 35 = 0$，得$x_1 = 5$，$x_2 = 7$，因为$3 + 4 = 7$，舍去$x_2 = 7$，所以周长为$3 + 4 + 5 = 12$。
(3)设宽为$x$米，长为$\frac{6 - 3x}{2}$米，由题意得$x×\frac{6 - 3x}{2} = 1.5$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 1$（舍去一个不合理值），所以宽为$1$米。
(4)每个人都要和除自己之外的人握手，所以握手次数为$\frac{x(x - 1)}{2}$，即$\frac{x(x - 1)}{2} = 10$。
