谈谈“用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系”与“用一元一次方程、二元一次方程组刻画实际问题中的数量关系”的异同。
答案：相同点：均通过设未知数，依据实际问题中的等量关系建立方程（组）模型，刻画数量间的相等关系。
不同点：
1. 未知数与次数：一元一次方程含1个未知数，次数为1；二元一次方程组含2个未知数，每个方程未知数次数为1；一元二次方程含1个未知数，次数为2。
2. 数量关系类型：一元一次方程刻画线性（一次）数量关系；二元一次方程组刻画两个变量间的一次数量关系；一元二次方程刻画含平方或乘积的二次数量关系（如面积、增长率、单价与销量乘积等问题）。
1. 填空题：
(1)把$5x^{2}-1 = 4x$化成一元二次方程的一般形式,得
$5x^{2}-4x - 1 = 0$
。其中二次项系数是
5
,一次项系数是
$-4$
,常数项是
$-1$
。
(2)某型号手机经过4月、5月连续两次降价后,每部手机售价由3200元降到了2500元。设平均每月降价的百分率为$x$,4月降价后该型号手机价格可表示为
$3200(1 - x)$
元,5月降价后该型号手机价格可表示为
$3200(1 - x)^{2}$
元。根据题意,可得方程
$3200(1 - x)^{2}=2500$
。
答案：(1)$5x^{2}-4x - 1 = 0$；$5$；$-4$；$-1$
(2)$3200(1 - x)$；$3200(1 - x)^{2}$；$3200(1 - x)^{2}=2500$
解析：
(1)
1. 首先将方程$5x^{2}-1 = 4x$移项化为一元二次方程的一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）的形式。
把$4x$移到左边可得$5x^{2}-4x - 1 = 0$。
在方程$5x^{2}-4x - 1 = 0$中，根据一元二次方程一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）的定义，二次项系数$a = 5$，一次项系数$b=-4$，常数项$c = - 1$。
(2)
1. 已知手机原价为$3200$元，平均每月降价的百分率为$x$。
根据“降价后的价格$=$原价$×(1 - $降价百分率)”，则4月降价后该型号手机价格可表示为$3200(1 - x)$元。
5月是在4月降价后的价格基础上再次降价，所以5月降价后该型号手机价格可表示为$3200(1 - x)^{2}$元。
已知经过两次降价后价格为$2500$元，所以可得方程$3200(1 - x)^{2}=2500$。
2. 选择题：
(1)把方程$x^{2}-\sqrt{3}= (\sqrt{3}-\sqrt{2})x$化成一般形式,它的各项系数之和是(
D
)
A. $\sqrt{2}$ B. $-\sqrt{2}$ C. $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ D. $1+\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
(2)已知$x = -1是方程ax^{2}+bx+c = 0$的解,则有(
C
)
A. $a + b + c = 1$ B. $a - b + c = 1$ C. $a - b + c = 0$ D. $-a - b + c = 0$
(3)有下列关于$x$的方程：$3(x^{2}+1)= 2y$,$3x(5x - 1)= 1$,$x^{2}= 1$,$2x+\frac{1}{x}= 3$,其中是一元二次方程的有(
B
)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：(1)D
(2)C
(3)B
解析：
(1)1. 展开方程右边：$x^{2} - \sqrt{3} = \sqrt{3}x - \sqrt{2}x$
2. 移项得到一般形式：$x^{2} - \sqrt{3}x + \sqrt{2}x - \sqrt{3} = 0$
3. 合并同类项：$x^{2} + (\sqrt{2} - \sqrt{3})x - \sqrt{3} = 0$
4. 系数之和：$1 + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + (-\sqrt{3}) = 1 + \sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
(2)将$x = -1$代入方程$ax^{2} + bx + c = 0$得：
$a(-1)^{2} + b(-1) + c = 0$
即$a - b + c = 0$
(3)1. $3(x^{2} + 1) = 2y$：含两个变量，不是一元二次方程
2. $3x(5x - 1) = 1$：整理为$15x^{2} - 3x - 1 = 0$，是一元二次方程
3. $x^{2} = 1$：是一元二次方程
4. $2x + \frac{1}{x} = 3$：含分式，不是整式方程
共2个一元二次方程
3. 两个连续偶数的积是48,求这两个数。(只需列出方程)
答案：设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x + 2$，根据题意可列方程：$x(x + 2) = 48$
1. 已知$x = m是方程x^{2}-2x - 3 = 0$的解,则代数式$2m^{2}-4m - 3$的值为
3
。
答案：3
解析：
因为$x = m$是方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$的解，所以将$x = m$代入方程可得：
$m^{2}-2m - 3 = 0$，移项可得$m^{2}-2m=3$。
对于代数式$2m^{2}-4m - 3$，可变形为$2(m^{2}-2m)-3$。
把$m^{2}-2m = 3$代入$2(m^{2}-2m)-3$可得：$2×3 - 3=6 - 3 = 3$。
2. 已知关于$x的方程(m - 2)x^{m^{2}-2}+(m - 3)x - 1 = 0$。
(1)当$m$取何值时,它是一元二次方程？
(2)当$m$取何值时,它是一元一次方程？
答案：(1) 由一元二次方程定义，得：
$\begin{cases}m^2 - 2 = 2 \\ m - 2 \neq 0\end{cases}$
解得$m^2 = 4$，$m = \pm 2$，且$m \neq 2$，故$m = -2$。
(2) 分情况讨论：
① 当$m - 2 = 0$，即$m = 2$时，方程为$-x - 1 = 0$，是一元一次方程；
② 当$m^2 - 2 = 1$且$m - 2 \neq 0$，即$m^2 = 3$，$m = \pm \sqrt{3}$，此时方程为$(2m - 5)x - 1 = 0$，$2m - 5 \neq 0$，是一元一次方程；
③ 当$m^2 - 2 = 0$且$m - 2 \neq 0$，即$m = \pm \sqrt{2}$，此时方程为$(m - 3)x + (m - 3) = 0$，$m - 3 \neq 0$，是一元一次方程。
综上，$m = 2$或$m = \pm \sqrt{2}$或$m = \pm \sqrt{3}$。
(1) $m = -2$；(2) $m = 2$或$\pm \sqrt{2}$或$\pm \sqrt{3}$。
