活动一：想一想 做一做
研读课本中的4个实际问题,回答下列问题：
(1)“正方形桌面面积问题”“矩形花圃面积问题”“我国农村居民人均可支配收人问题”“梯子靠墙问题”中的相等关系分别是什么？请根据这些相等关系分别列出对应的方程。
(2)想一想：什么是一元二次方程？
答案：(1)①边长²=面积，x²=2；②长×宽=面积，x(10-x)=24；③初始收入×(1+增长率)²=最终收入，a(1+x)²=b；④(底端距墙)²+(顶端距地)²=梯子长²，(3+x)²+(4-x)²=25；(2)只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
解析：
(1)①正方形桌面面积问题：相等关系为正方形边长的平方等于面积，方程为x²=2；②矩形花圃面积问题：相等关系为矩形的长×宽=面积，方程为x(10-x)=24；③农村居民人均可支配收入问题：相等关系为初始收入×(1+年平均增长率)²=最终收入，方程为a(1+x)²=b；④梯子靠墙问题：相等关系为(底端距墙距离)²+(顶端距地距离)²=梯子长度²(勾股定理)，方程为(3+x)²+(4-x)²=25。(2)只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
1. 判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)$1 - x^{2}= 0$；(2)$2(x^{2}-1)= 3y$；(3)$x(x - 3)= -4$；
(4)$x^{2}= -1$；(5)$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}= 1$；(6)$ax^{2}+bx+c = 0$($a$、$b$、$c$是常数)。
答案：(1) 是。
方程 $1 - x^{2} = 0$ 可整理为 $x^{2} - 1 = 0$，满足一元二次方程的定义（只含有一个未知数 $x$，且 $x$ 的最高次数为 2，且二次项系数不为 0）。
(2) 不是。
方程 $2(x^{2} - 1) = 3y$ 含有两个未知数 $x$ 和 $y$，不满足一元二次方程的定义。
(3) 是。
方程 $x(x - 3) = -4$ 可整理为 $x^{2} - 3x + 4 = 0$，满足一元二次方程的定义。
(4) 是。
方程 $x^{2} = -1$ 可整理为 $x^{2} + 1 = 0$，满足一元二次方程的定义。
(5) 不是。
方程 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 1$ 是分式方程，不满足一元二次方程的定义（要求是整式方程）。
(6) 不是（当$a=0$时，不是一元二次方程；当$a \neq 0$时，是一元二次方程）。
方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，当 $a \neq 0$ 时，满足一元二次方程的定义；当$a=0$，$b \neq 0$时，为一元一次方程，当$a=b=0$时，不为一元二次方程。
2. 写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)$x^{2}-10x - 11 = 0$；(2)$2x^{2}-15 = 0$；
(3)$-x^{2}-x = 1$；(4)$(x + 2)^{2}= 3$。
答案：(1) 方程 $x^{2} - 10x - 11 = 0$
二次项系数：1
一次项系数：-10
常数项：-11
(2) 方程 $2x^{2} - 15 = 0$
二次项系数：2
一次项系数：0
常数项：-15
(3) 方程 $-x^{2} - x = 1$，整理为 $-x^{2} - x - 1 = 0$
二次项系数：-1
一次项系数：-1
常数项：-1
(4) 方程 $(x + 2)^{2} = 3$，展开为 $x^{2} + 4x + 4 = 3$，整理为 $x^{2} + 4x + 1 = 0$
二次项系数：1
一次项系数：4
常数项：1
