(1) 设 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x(x - 1)= 2$ 的两个根,则 $x_{1}+x_{2}=$
1
,$x_{1}\cdot x_{2}=$
-2
；
(2) 若方程 $x^{2}-mx + n = 0$ 的两个根分别是 $2+\sqrt{3}$ 和 $2-\sqrt{3}$,则 $m=$
4
,$n=$
1
.
答案：(1) $1$，$-2$；(2) $4$，$1$
解析：
(1)将方程$x(x - 1) = 2$化为一般形式：$x^{2}-x - 2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-x - 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-1$，$c = - 2$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-1}{1}=1$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{-2}{1}=-2$。
(2)对于方程$x^{2}-mx + n = 0$，其中$a = 1$，$b=-m$，$c = n$，两根分别为$x_1 = 2+\sqrt{3}$，$x_2 = 2-\sqrt{3}$。
根据韦达定理$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=m$，则$m=(2+\sqrt{3})+(2 - \sqrt{3})=4$；
$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=n$，则$n=(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4 - 3 = 1$。
3. 求下列方程两根的和与两根的积：\n(1) $x^{2}-2x + 1 = 0$；\n(2) $2x^{2}+3x = 0$；\n(3) $3x^{2}-2x = 2$；\n(4) $6x^{2}-1 = 0$.
答案：(1)
对于方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0$，
其中 $a = 1, b = -2, c = 1$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 2$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 1$。
(2)
对于方程 $2x^{2} + 3x = 0$，
其中 $a = 2, b = 3, c = 0$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 0$。
(3)
首先，将方程 $3x^{2} - 2x = 2$ 化为标准形式：
$3x^{2} - 2x - 2 = 0$，
其中 $a = 3, b = -2, c = -2$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{2}{3}$。
(4)
对于方程 $6x^{2} - 1 = 0$，
其中 $a = 6, b = 0, c = -1$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 0$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{1}{6}$。
4. 已知关于 $x$ 的方程 $3x^{2}-19x + m = 0$ 的一个根是 1,求另一个根及 $m$ 的值.
答案：答：
将$x = 1$代入方程$3x^{2} - 19x + m = 0$，得 ：
$3×(1)^2 - 19×(1) + m = 0$，
$3 - 19 + m = 0$，
$m = 16$，
设方程的另一个根为$x_1$，
由根与系数的关系，得：
$1 + x_1 = \frac{19}{3}$，
$x_1 = \frac{19}{3} - 1$，
$x_1 = \frac{16}{3}$，
所以，另一个根为$\frac{16}{3}$，$m$的值为$16$。
1. 若 $x_{1}$、$x_{2}$ 是一元二次方程 $2x^{2}-3x + 1 = 0$ 的两个根,则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为
3
.
答案：答题卡：
根据韦达定理，对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $2x^{2} - 3x + 1 = 0$，其中 $a = 2, b = -3, c = 1$，所以：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{1}{2}$，
接下来，我们要求 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$，根据分数的加法运算法则，可以将其转化为：
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$，
将 $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2}$ 和 $x_{1}x_{2} = \frac{1}{2}$ 代入上式，得：
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$。
故答案为3。
2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x+(2m + 1)= 0$ 有实数根.\n(1) 求 $m$ 的取值范围；\n(2) 如果方程的两个实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$,且 $2x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}\geqslant20$,求 $m$ 的取值范围.
答案：(1)$m≤4$；(2)$3≤m≤4$。
解析：
(1) ∵方程有实数根，∴判别式Δ≥0。
对于方程$x^2 - 6x + (2m + 1) = 0$，$a=1$，$b=-6$，$c=2m + 1$，
Δ$=(-6)^2 - 4×1×(2m + 1)=36 - 8m - 4=32 - 8m$。
由Δ≥0得$32 - 8m≥0$，解得$m≤4$。
(2) 由根与系数关系，$x_1 + x_2=6$，$x_1x_2=2m + 1$。
代入$2x_1x_2 + x_1 + x_2≥20$，得$2(2m + 1) + 6≥20$，
化简得$4m + 2 + 6≥20$，$4m≥12$，解得$m≥3$。
结合(1)中$m≤4$，故$3≤m≤4$。
