∵$\odot O$直径为15cm，∴半径$OC=\frac{15}{2}=7.5$cm。
∵$OM:OC=3:5$，∴$OM=\frac{3}{5}OC=\frac{3}{5}×7.5=4.5$cm。
∵$CD$是直径且垂直$AB$于$M$，∴$AM=BM$，$OM\perp AB$。
在$Rt\triangle OMA$中，$OA=OC=7.5$cm，$OM=4.5$cm，
由勾股定理得$AM=\sqrt{OA^2 - OM^2}=\sqrt{7.5^2 - 4.5^2}=\sqrt{(7.5 - 4.5)(7.5 + 4.5)}=\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$cm。
∴$AB=2AM=2×6=12$cm。

已知圆的半径$r = 1$，圆心角$n = 120^{\circ}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得弧长$l=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}$。

过圆心O作直线l的垂线，垂足为M，则OM=d。到直线l距离为2的点的集合是两条平行于l的直线l₁、l₂，圆心O到l₁、l₂的距离分别为|d-2|和d+2。圆上到l距离为2的点的个数m为l₁、l₂与⊙O的交点总数。
①若d＞5：l₁距离O为d-2＞3，l₂距离O为d+2＞7，均与⊙O无交点，m=0，正确。
②若d=5：l₁距离O为5-2=3（相切，1个交点），l₂距离O=7＞3（无交点），m=1，正确。
③若1＜d＜5：l₂距离O=d+2＞3（无交点），l₁距离O=|d-2|＜3（2个交点），m=2≠3，错误。
④若d=1：l₂距离O=1+2=3（相切，1个交点），l₁距离O=1＜3（2个交点），m=3≠2，错误。
⑤若d＜1：l₂距离O=d+2＜3（2个交点），l₁距离O=2-d＜3（2个交点），m=4，正确。
正确命题为①②⑤，共3个。

连接OD，
∵AD切半圆O于点D，
∴OD⊥AD（切线垂直于过切点的半径）。
∵BC⊥AD，
∴OD//BC（垂直于同一直线的两直线平行）。
∴△AOD∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。
半圆O半径为2，
∴OD=2，OB=2。
∵A在EB延长线上，AB=2，
∴OA=OB+AB=2+2=4。
由相似三角形性质：$\frac{OD}{BC}=\frac{OA}{AB}$，即$\frac{2}{BC}=\frac{4}{2}$，解得BC=1。

设圆的半径为$r$。
圆内接正方形的对角线长为$2r$，边长为$\frac{2r}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}r$，周长为$4\sqrt{2}r$。
圆内接正六边形的边长等于半径$r$，周长为$6r$。
周长比为$4\sqrt{2}r:6r=2\sqrt{2}:3$。

连接OQ，PQ为⊙O切线，∴OQ⊥PQ，OQ=2。在Rt△OPQ中，PQ=√(OP² - OQ²)=√(OP² - 4)。要使PQ最小，需OP最小。直线AB：x+y=6，原点O到直线AB的距离d=|0+0-6|/√(1²+1²)=3√2，即OP最小值为3√2。∴PQ最小值=√[(3√2)² - 2²]=√(18-4)=√14。