16. (14分)如图①,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,OC= 4,∠OAC= 60°.
(1) 求∠AOC的度数;
(2) 在图①中,P为直径BA延长线上的一点,当CP与⊙O相切时,求PO的长;
(3) 如图②,一动点M从点A出发,在⊙O上按逆时针方向运动一周,当△MAO的面积与△CAO的面积相等时,求动点M所经过的弧长.
答案：(1) 60°；(2) 8；(3) 4π/3，8π/3，16π/3，20π/3。
解析：
(1) 在△OAC中，OA=OC=4，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°。
(2) ∵CP与⊙O相切，∴OC⊥CP，∠OCP=90°。由(1)知∠AOC=60°，在Rt△OCP中，cos∠COP=OC/PO，∠COP=60°，OC=4，∴PO=OC/cos60°=4/(1/2)=8。
(3) ∵S△MAO=S△CAO=4√3，OA=OM=4，S△MAO=1/2·OA·OM·sin∠AOM=8sin∠AOM，∴sin∠AOM=√3/2，∴∠AOM=60°或120°或240°或300°。弧长l=nπr/180，r=4，∴当n=60°时，l=60π×4/180=4π/3；当n=120°时，l=120π×4/180=8π/3；当n=240°时，l=240π×4/180=16π/3；当n=300°时，l=300π×4/180=20π/3。
