14. (14分)如图,BE是⊙O的直径,A、D是⊙O上的两点,连接AE、AD、DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC= ∠EDA.
(1) 求证:AC是⊙O的切线;
(2) 若CE= AE= 2√{3},求阴影部分的面积.
答案：(1) 证明见上；(2) 2π-3√3。
解析：
(1) 连接OA，
∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°（直径所对圆周角是直角）。
∵∠EDA与∠ABE均为弧AE所对圆周角，∴∠EDA=∠ABE。
∵∠EAC=∠EDA，∴∠EAC=∠ABE。
∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABE=∠EAC。
∵∠BAE=∠OAB+∠OAE=90°，∴∠OAC=∠OAE+∠EAC=∠OAE+∠OAB=90°。
∴OA⊥AC，又OA为半径，∴AC是⊙O的切线。
(2) 设⊙O半径为r，则OA=OE=r，OC=OE+CE=r+2√3。
∵AE=CE=2√3，∴△ACE为等腰三角形，∠EAC=∠ECA。
由(1)知∠EAC=∠ABE=α，则∠ECA=α。
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，∠ABE=α，∴∠AEB=90°-α。
∵∠AEB+∠AEC=180°（邻补角），∠AEC=180°-2α，
∴(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°。
∴∠AEB=60°，∵OA=OE，∴△OAE为等边三角形，∠AOE=60°，r=AE=2√3。
扇形OAE面积：(60/360)πr²=(1/6)π(2√3)²=2π。
△OAE面积：(√3/4)r²=(√3/4)(2√3)²=3√3。
阴影部分面积=扇形OAE面积-△OAE面积=2π-3√3。
15. (12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.
(1) 求证:∠A= ∠BCD.
(2) 若M是线段BC上的一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?说明理由.
答案：(1)证明：∵AC为⊙O直径，∴∠ADC=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。
在Rt△BDC中，∠BDC=90°（∠ADC=90°），∴∠BCD+∠B=90°。
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）。
(2)当M为BC中点时，DM与⊙O相切。
理由：连接OD。
∵AC为⊙O直径，O为AC中点，∴OA=OD，∠A=∠ADO（等边对等角）。
若DM与⊙O相切，则OD⊥DM（切线垂直于过切点的半径），即∠ODM=90°。
∵∠ADC=90°，∴∠ADO+∠ODC=90°。
又∠ODM=90°，即∠ODC+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠CDM。
由(1)知∠A=∠BCD，又∠A=∠ADO，∴∠CDM=∠BCD。
∴△CDM中，CM=DM（等角对等边）。
在Rt△BDC中，M为BC中点时，CM=DM（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∴当M为BC中点时，DM与⊙O相切。
